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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 144 do ENEM 2011

2º dia · Matemática · H7 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele.

Cubo com os vértices inferiores A, B, C, D e o ponto O no centro da face superior. Pirâmide com base quadrilátera de vértices A, B, C, D e ápice no ponto O.

Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às arestas \overline{AD}, \overline{BC}, \overline{AB} e \overline{CD}, nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos.

Os formatos dos sólidos descartados são

  1. A
    todos iguais.
  2. B
    todos diferentes.
  3. C
    três iguais e um diferente.
  4. D
    apenas dois iguais.
  5. E
    iguais dois a dois.
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Resolução comentada

Os cortes devem ser considerados na ordem indicada, pois cada novo corte atua sobre o sólido que restou do anterior.

Considere que a aresta do cubo mede a. Os cortes que vão de O às arestas \overline{AD} e \overline{BC} retiram partes de lados opostos. Uma é a imagem da outra por simetria: ambas são prismas triangulares. Em cada prisma, a seção triangular tem base a e altura a/2, enquanto o comprimento é a. Portanto, cada um tem volume

V_1=\frac{a\cdot(a/2)}{2}\cdot a=\frac{a^3}{4}.

Depois desses dois cortes, a parte superior do sólido restante se reduz a um segmento que passa por O. Os cortes em direção a \overline{AB} e \overline{CD} retiram, por sua vez, dois tetraedros simétricos. Cada um tem volume a^3/12.

Assim, o primeiro e o segundo sólidos são iguais entre si; o terceiro e o quarto também são iguais entre si. Como os dois pares têm formatos diferentes — prismas e tetraedros —, os quatro sólidos descartados são iguais dois a dois.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A engana quem considera apenas a simetria das quatro faces laterais da pirâmide e ignora a ordem dos cortes.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AOs dois primeiros sólidos são prismas, enquanto os dois últimos são tetraedros.
  • BCada sólido tem outro igual a ele por simetria.
  • COs cortes produzem dois pares de sólidos iguais, não um grupo de três.
  • DNão há apenas um par de sólidos iguais: há dois.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Pirâmides e tronco de pirâmide.

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