Questão 165 do ENEM 2010

Question

Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função

T(t) = \begin{cases} \dfrac{7}{5}\,t + 20, \text{ para } 0 \le t < 100 \\[2ex] \dfrac{2}{125}\,t^2 - \dfrac{16}{5}\,t + 320, \text{ para } t \ge 100 \end{cases}

em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.

Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C.

O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a

A
100.
B
108.
C
128.
D
130.
E
150.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 165 do ENEM 2010

2º dia · Matemática · H21 · Matemática: Função quadrática

Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função

T(t) = \begin{cases} \dfrac{7}{5}\,t + 20, \text{ para } 0 \le t < 100 \\[2ex] \dfrac{2}{125}\,t^2 - \dfrac{16}{5}\,t + 320, \text{ para } t \ge 100 \end{cases}

em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.

Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C.

O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a

A
100.
B
108.
C
128.
D
130.
E
150.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A peça entra quando T = 48 e sai quando T = 200. Precisamos achar o instante t de cada situação e subtrair. Como a função tem dois trechos, primeiro vemos em qual trecho cada temperatura acontece.

Entrada (48 °C): no primeiro trecho, T(100) = \frac{7}{5}\cdot 100 + 20 = 160. Logo, até t=100 a temperatura vai de 20 a 160 °C, e 48 °C ocorre nesse trecho:

\frac{7}{5}t + 20 = 48 \Rightarrow \frac{7}{5}t = 28 \Rightarrow t = 20

Saída (200 °C): como 200 > 160, isso ocorre no segundo trecho (t \ge 100):

\frac{2}{125}t^2 - \frac{16}{5}t + 320 = 200

Subtraindo 200 e multiplicando por \frac{125}{2}:

t^2 - 200t + 7500 = 0

Pois \frac{16}{5}\cdot\frac{125}{2} = 200 e 120\cdot\frac{125}{2} = 7500.

Soma das raízes = 200 e produto = 7500, logo as raízes são t = 50 e t = 150. Só serve t = 150, pois exige t \ge 100.

Tempo de permanência: 150 - 20 = 130 minutos.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem para em t=150 e esquece de subtrair o instante de entrada (t=20); a raiz t=50 também deve ser descartada por não estar em t\ge100.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa apenas o limite do primeiro trecho (100 min), sem calcular os instantes de entrada e saída.
BResultado sem base no cálculo, obtido por erro na conta da entrada ou da equação.
CResultado sem base no cálculo, obtido por erro ao resolver a equação do segundo grau.
EUsa o instante de saída (150 min) sem descontar os 20 min até a entrada da peça.

Assuntos: Função quadrática, Equação do 2º grau, Função afim.

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Questão 165 no caderno Azul do ENEM 2010

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