Questão 161 do ENEM 2010

Question

Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

Triângulo retângulo ABC com vértices A, B e C, e ângulo reto em A. O ponto P é o ponto médio do lado AB, M é o ponto médio da hipotenusa BC, e N é o ponto médio do lado AC. Um segmento liga os pontos M e N, e a região do trapézio ABNM está sombreada.

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.

Nessas condições, a área a ser calçada corresponde

A
à mesma área do triângulo AMC.
B
à mesma área do triângulo BNC.
C
à metade da área formada pelo triângulo ABC.
D
ao dobro da área do triângulo MNC.
E
ao triplo da área do triângulo MNC.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 161 do ENEM 2010

2º dia · Matemática · H7 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

Triângulo retângulo ABC com vértices A, B e C, e ângulo reto em A. O ponto P é o ponto médio do lado AB, M é o ponto médio da hipotenusa BC, e N é o ponto médio do lado AC. Um segmento liga os pontos M e N, e a região do trapézio ABNM está sombreada.

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.

Nessas condições, a área a ser calçada corresponde

A
à mesma área do triângulo AMC.
B
à mesma área do triângulo BNC.
C
à metade da área formada pelo triângulo ABC.
D
ao dobro da área do triângulo MNC.
E
ao triplo da área do triângulo MNC.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

M e N são pontos médios de BC e AC. Pelo teorema da base média, MN é paralelo a AB e mede metade dele. Logo o triângulo MNC é semelhante ao triângulo ABC, com razão de semelhança \frac{1}{2}.

A razão entre as áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança:

\frac{\text{área}(MNC)}{\text{área}(ABC)}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}

Então, chamando S a área de ABC:

Área de MNC = \frac{S}{4}.
O trapézio ABNM é o triângulo ABC sem o triângulo MNC: S-\frac{S}{4}=\frac{3S}{4}.
Comparando: \frac{3S}{4}=3\cdot\frac{S}{4}, ou seja, o triplo da área de MNC.

Conferindo as outras: o triângulo AMC tem base AC e altura \frac{AB}{2}, então sua área é \frac{S}{2}; o triângulo BNC tem base NC =\frac{AC}{2} e altura AB, então também \frac{S}{2}. Nenhum deles vale \frac{3S}{4}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO triângulo AMC tem área S/2, e o trapézio tem 3S/4.
BO triângulo BNC também tem área S/2, diferente de 3S/4.
CA metade de ABC é S/2, mas o trapézio ocupa 3S/4.
DO dobro de MNC seria S/2; esquece que a área de MNC é S/4 e o trapézio é o triplo dela.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 161 no caderno Azul do ENEM 2010

Nos cadernos: Amarelo 152Cinza 159Azul 161Rosa 161