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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 160 do ENEM 2010

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.

Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.

Esquema geométrico mostrando a altura vertical do balão perpendicular ao solo. O ponto A dista 1,8 km da projeção vertical sob ângulo de visão de 60°. O ponto B dista 3,7 km de A sob ângulo de visão de 30°.

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60^\circ; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30^\circ.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

  1. A
    1,8 km
  2. B
    1,9 km
  3. C
    3,1 km
  4. D
    3,7 km
  5. E
    5,5 km
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Resolução comentada

Chame de h a altura do balão. Ela é o cateto vertical dos dois triângulos retângulos da figura. O outro cateto é a distância horizontal de cada pessoa até a vertical do balão. Nesse caso, usamos a tangente do ângulo: \tg\theta = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.

  1. Pessoa em A, a 1,8 km da vertical, ângulo de 60^\circ: \tg 60^\circ = \sqrt{3} = \dfrac{h}{1{,}8}, logo h = 1{,}8\sqrt{3}.

  2. Pessoa em B, a 5,5 km da vertical, ângulo de 30^\circ: \tg 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{h}{5{,}5}, logo h = \dfrac{5{,}5\sqrt{3}}{3}.

  3. Os dois valores devem coincidir. Conferindo com \sqrt{3}\approx 1{,}73: 1{,}8\cdot 1{,}73 \approx 3{,}11 e 5{,}5\cdot 1{,}73/3 \approx 3{,}17. Ambos ficam em torno de 3,1 km.

A distância de 3,7 km na figura é só a separação entre A e B (5{,}5 - 1{,}8 = 3{,}7), não é a altura.

Portanto, a altura aproximada do balão é 3,1 km.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana porque 3,7 km aparece na figura como distância entre A e B, e não como altura.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa a distância horizontal 1,8 km como se fosse a altura.
  • Bnão corresponde a nenhuma relação trigonométrica correta; seria a altura se a razão fosse outra, como 1{,}8\cdot\sqrt3/\ldots mal calculada.
  • Dtoma a distância entre A e B (3,7 km) como altura.
  • Eusa a distância horizontal da segunda pessoa (5,5 km) como altura.

Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo.

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