Questão 177 do ENEM 2009

Question

Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.

Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?

A
Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
B
Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
C
Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.
D
O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
E
O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 177 do ENEM 2009

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.

Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?

A
Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
B
Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
C
Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.
D
O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
E
O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.

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Resolução comentada

Quando um plano corta um sólido, a interseção com cada face é, no máximo, um segmento de reta. Cada segmento vira um lado do polígono da seção.

A pirâmide de base quadrada tem:

4 faces laterais triangulares;
1 base quadrada;
total de 4 + 1 = 5 faces.

Se o plano atravessar as 5 faces, ele deixa 5 segmentos, um em cada face. Esses segmentos formam o contorno da seção, que então tem 5 lados: um pentágono. Isso é possível, por exemplo, com um plano que corta a base e as 4 faces laterais sem passar pelo vértice.

O número de lados, portanto, é no máximo o número de faces, e vale 5 quando o plano corta todas elas. O argumento que diz isso é o da alternativa C.

A D erra ao afirmar que o número de lados é sempre igual ao de faces: depende de quantas faces o plano corta. A A e a E falam só das arestas laterais e chegam a 4 lados, e a B fala só de faces triangulares, esquecendo a base.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aconsidera só as 4 arestas laterais e ignora a base, concluindo por um quadrilátero.
Besquece a base quadrada e supõe que cada face é dividida em duas partes, o que não gera o polígono da seção.
Dafirma que o polígono sempre tem tantos lados quanto faces, mas isso só ocorre se o plano cortar todas as faces.
Ediz que o número de lados sempre é o de arestas laterais, o que é falso, pois a seção pode ter 3, 4 ou 5 lados.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Geometria espacial de posição.

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Questão 177 no caderno Azul do ENEM 2009

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