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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 173 do ENEM 2009

2º dia · Matemática · H14 · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Vela em forma de pirâmide quadrangular, dividida em quatro blocos separados: três troncos de pirâmide e uma pirâmide no topo. Duas arestas da base estão indicadas como 6 cm.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

  1. A
    156\ \text{cm}^3.
  2. B
    189\ \text{cm}^3.
  3. C
    192\ \text{cm}^3.
  4. D
    216\ \text{cm}^3.
  5. E
    540\ \text{cm}^3.
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Resolução comentada

A vela é uma pirâmide de 19 cm de altura, dividida em 4 blocos de mesma altura, com 3 espaços de 1 cm entre eles. Sobram 19-3=16 cm para os blocos, ou seja, 4 cm por bloco.

A pirâmide do topo tem 4 cm de altura e base de 1,5 cm. Ela é semelhante à vela inteira, com razão \frac{1{,}5}{6}=\frac{1}{4}, e \frac{1}{4} de 16 cm dá 4 cm, o que confere.

O que sai da conta é a pirâmide do topo. Os três troncos ficam com o mesmo molde, então o gasto passa a ser o volume de uma pirâmide de 16 cm de altura (as três primeiras camadas, sem os espaços) menos a pirâmide de 4 cm de altura no topo. Isso dá o volume do bloco de baixo até a base do topo.

A pirâmide completa de 16 cm, com a base de 6 cm, tem volume:

  1. Pirâmide grande (base 6, altura 16): V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 16=192\ \text{cm}^3.
  2. Pirâmide pequena (base 1,5, altura 4): V=\frac{1}{3}\cdot 2{,}25\cdot 4=3\ \text{cm}^3.
  3. Volume dos três troncos: 192-3=189\ \text{cm}^3.

Os espaços de 1 cm não têm parafina, e a conta acima já os desconsidera, pois os blocos empilhados sem espaço formam a pirâmide de 16 cm.

Portanto, sem a pirâmide do topo, a vela usa 189\ \text{cm}^3 de parafina.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem calcula a pirâmide de 16 cm e esquece de subtrair a pirâmide do topo; a E engana quem usa os 19 cm de altura, esquecendo os espaços vazios de 1 cm.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubtrai valores incorretos de volume, sem relação com a pirâmide de 16 cm menos a do topo.
  • CÉ o volume da pirâmide de 16 cm inteira, sem descontar a pirâmide do topo.
  • DUsa a altura de 18 cm ou outro valor errado, sem descontar os espaços de 1 cm corretamente.
  • EUsa a altura total de 19 cm na fórmula, ignorando os espaços e a retirada do topo.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Semelhança e Teorema de Tales.

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