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Questão 174 do ENEM 2009

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d \le r sobre a circunferência.

Gráfico no primeiro quadrante do plano cartesiano com eixos x e y, contendo uma circunferência e seu raio r horizontal a partir do ponto P, cuja projeção ortogonal no eixo x é o ponto Q.

Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por

  1. A
    r\left(1 - \sen\dfrac{d}{r}\right).
  2. B
    r\left(1 - \cos\dfrac{d}{r}\right).
  3. C
    r\left(1 - \tg\dfrac{d}{r}\right).
  4. D
    r\sen\left(\dfrac{r}{d}\right).
  5. E
    r\cos\left(\dfrac{r}{d}\right).
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Resolução comentada

Pela figura, P começa no ponto mais à esquerda da circunferência, com o raio r horizontal apontando para o centro. Então Q está a uma distância r à esquerda do centro, isto é, na abscissa x_c - r, sendo x_c a abscissa do centro.

O comprimento de arco é d = r\theta, então P gira um ângulo \theta = \dfrac{d}{r} (em radianos) no sentido anti-horário.

A posição de P em relação ao centro é dada pelo ângulo medido a partir do ponto inicial (180°). Depois de girar \theta no sentido anti-horário, a abscissa de P é:

x_P = x_c + r\cos(\pi + \theta) = x_c - r\cos\theta

A distância percorrida por Q é a diferença entre a nova e a antiga posição:

  1. Posição inicial: x_c - r.
  2. Posição final: x_c - r\cos\dfrac{d}{r}.
  3. Deslocamento: \left(x_c - r\cos\dfrac{d}{r}\right) - (x_c - r) = r - r\cos\dfrac{d}{r}.

Portanto:

r\left(1 - \cos\dfrac{d}{r}\right)

Como d \le r, o ângulo é menor que 1 rad, e o resultado é positivo, o que faz sentido para uma distância.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa seno, que dá o deslocamento vertical de P (eixo y), não o horizontal de Q.
  • Ca tangente não representa a projeção horizontal do ponto sobre a circunferência.
  • Dusa r/d em vez do ângulo d/r e ignora o ponto de partida.
  • Etambém usa r/d como ângulo e não subtrai a posição inicial.

Assuntos: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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