Questão 171 do ENEM 2009

Question

A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto \{01, 02, 03, \ldots, 59, 60\}, custava R$ 1,50.

Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,

A
1\frac{1}{2} vez menor.
B
2\frac{1}{2} vezes menor.
C
4 vezes menor.
D
9 vezes menor.
E
14 vezes menor.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 171 do ENEM 2009

2º dia · Matemática · H30 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto \{01, 02, 03, \ldots, 59, 60\}, custava R$ 1,50.

Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,

A
1\frac{1}{2} vez menor.
B
2\frac{1}{2} vezes menor.
C
4 vezes menor.
D
9 vezes menor.
E
14 vezes menor.

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Resolução comentada

R$ 126,00 ÷ R$ 1,50 = 84 apostas simples de seis dezenas. A outra opção é uma aposta única com nove dezenas, que equivale a \binom{9}{6}=84 combinações de seis dezenas, mas que custa o mesmo valor (R$ 126,00). Vamos contar as chances de fazer a quina em cada caso.

Caso 1: 84 apostas de seis dezenas, sem cinco números em comum.
Acertar a quina significa que 5 dos 6 números sorteados estão em uma aposta. Como duas apostas não compartilham cinco números, cada aposta cobre seus próprios grupos de cinco números.
Cada aposta de 6 dezenas contém \binom{6}{5}=6 grupos de cinco. Total de grupos cobertos: 84\times 6=504.

Caso 2: uma aposta com nove dezenas.
Grupos de cinco cobertos pelos 9 números: \binom{9}{5}=126.

Como o número de sorteios favoráveis é proporcional a esses valores (para cada grupo de 5 acertados, o sexto número sorteado é um dos 55 restantes, o que vale igualmente nos dois casos), a razão entre as probabilidades é:

\frac{P_2}{P_1}=\frac{126}{504}=\frac{1}{4}

Ou seja, no segundo caso a probabilidade é 4 vezes menor. Por isso é melhor fazer as 84 apostas diferentes.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde à razão 126/504; valor sem base na contagem das quinas.
BNão corresponde à razão 126/504; valor sem base na contagem das quinas.
DValor sem base na contagem; a razão correta entre as quinas cobertas é 1/4, não 1/9.
EValor sem base na contagem; a razão correta entre as quinas cobertas é 1/4, não 1/14.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Combinações e binômio de Newton.

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Questão 171 no caderno Azul do ENEM 2009

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