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Questão 169 do ENEM 2009

2º dia · Matemática · H18 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050\text{ m}^3/\text{s}. O cálculo da vazão, Q em \text{m}^3/\text{s}, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em \text{m}^2, pela velocidade da água no local, v, em \text{m/s}, ou seja, Q = Av.

Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.

Cortes transversais em formato de trapézio isósceles das canaletas: na Figura I, base superior de 30 m, base inferior de 20 m e altura de 2,5 m; na Figura II, base superior de 49 m, base inferior de 41 m e altura de 2,0 m.

Disponível em: www2.uel.br.

Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?

  1. A
    90\text{ m}^3/\text{s}.
  2. B
    750\text{ m}^3/\text{s}.
  3. C
    1.050\text{ m}^3/\text{s}.
  4. D
    1.512\text{ m}^3/\text{s}.
  5. E
    2.009\text{ m}^3/\text{s}.
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Resolução comentada

A vazão é Q = A\cdot v. Como a velocidade não muda, a vazão é proporcional à área da seção transversal, que é um trapézio: A = \dfrac{(B+b)\cdot h}{2}.

  1. Área antes da reforma (figura I):

    A_1 = \frac{(30+20)\cdot 2{,}5}{2} = 62{,}5\ \text{m}^2

  2. Velocidade da água, pois Q_1 = 1.050\ \text{m}^3/\text{s}:

    v = \frac{1.050}{62{,}5} = 16{,}8\ \text{m/s}

  3. Área depois da reforma (figura II):

    A_2 = \frac{(49+41)\cdot 2}{2} = 90\ \text{m}^2

  4. Nova vazão, com a mesma velocidade:

    Q_2 = 90\cdot 16{,}8 = 1.512\ \text{m}^3/\text{s}

Conferindo pela proporção: Q_2 = 1.050\cdot\dfrac{90}{62{,}5} = 1.050\cdot 1{,}44 = 1.512.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana quem calcula só a área nova (90) e esquece de multiplicar pela velocidade de 16,8 m/s.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá apenas a área nova (90 m²), esquecendo de multiplicar pela velocidade.
  • BNão corresponde a nenhuma etapa correta; resulta de usar dados errados da figura, e a vazão deve aumentar, não diminuir.
  • CSupõe que a vazão não muda, mas a área da seção aumentou de 62,5 para 90 m².
  • EValor sem base no cálculo; não respeita a proporção entre as áreas (fator 1,44).

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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