Questão 165 do ENEM 2009

A diferença entre combinação e arranjo está na ordem: se trocar a ordem dos elementos gera uma escolha diferente, é arranjo; se não gera, é combinação.

1. Grupo A: sorteiam-se 4 times entre 12. O grupo formado por {X, Y, Z, W} é o mesmo em qualquer ordem de sorteio, então a ordem não importa. Trata-se de uma combinação: C_{12,4}=\frac{12!}{4!\,8!}=495.

2. Jogo de abertura: escolhem-se 2 times entre os 4 do grupo, mas o primeiro joga em casa e o segundo é visitante. Assim, X em casa contra Y é um jogo diferente de Y em casa contra X. A ordem importa, então é um arranjo: A_{4,2}=\frac{4!}{2!}=12.

Logo, o primeiro cálculo é uma combinação e o segundo, um arranjo.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Binverte os tipos: o grupo não depende da ordem (combinação) e o mando de campo faz a ordem importar (arranjo).
• Co grupo é combinação, não arranjo, e a escolha de 2 entre 4 não é uma permutação de todos os elementos.
• Dignora que o mando de campo distingue mandante de visitante, o que torna o jogo de abertura um arranjo.
• Etrata o grupo como arranjo, mas a ordem de sorteio dos 4 times não altera o grupo.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Princípio fundamental da contagem.

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