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Questão 164 do ENEM 2009

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

Representação do terreno retangular com as divisões entre João, Pedro e José a partir do canto inferior esquerdo, onde se encontra a área sombreada de um quarto de círculo

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a

(considere \frac{\sqrt{3}}{3} = 0{,}58 )

  1. A
    50%.
  2. B
    43%.
  3. C
    37%.
  4. D
    33%.
  5. E
    19%.
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Resolução comentada

O quarto de círculo mede 90°, e cada irmão fica com a terça parte da área de extração, ou seja, um setor de 30°. As retas partem do canto inferior esquerdo e dividem o ângulo reto em três ângulos de 30°.

João fica com a região entre o lado esquerdo do terreno (vertical) e a primeira reta, que forma 60° com a base. Essa reta sobe até o topo do terreno, na altura de 2 km.

  1. A reta tem ângulo de 60° com a horizontal. Ela chega ao topo (altura 2) em um ponto de abscissa x tal que \tg 60^\circ = \frac{2}{x}.
  2. Então x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = 2 \cdot 0{,}58 = 1{,}16\ \text{km}.
  3. A parte de João é um triângulo retângulo com catetos 2 km (lado esquerdo) e 1,16 km (topo). Sua área é \frac{2 \cdot 1{,}16}{2} = 1{,}16\ \text{km}^2.
  4. A área total do terreno é 3 \cdot 2 = 6\ \text{km}^2.
  5. Porcentagem: \frac{1{,}16}{6} \approx 0{,}193 \approx 19\%.

A região de João inclui o setor de 30° dentro do quarto de círculo, e o triângulo já o contém, pois o triângulo vai do canto até o topo.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem pensa que, por a área de extração ser dividida em três partes iguais, o terreno também é dividido em três; só o setor é igual, não o terreno.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AMetade do terreno não tem relação com a divisão feita; ignora a geometria do triângulo.
  • BValor sem justificativa geométrica, que não resulta da área do triângulo de João.
  • CAproximação sem base, que não sai da área 1,16 dividida por 6.
  • DCorresponde à ideia errada de que cada irmão fica com um terço do terreno.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Trigonometria no triângulo retângulo.

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