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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 do ENEM 2004

Prova · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.

Três chapas quadradas de alumínio com tampas circulares recortadas: na primeira, rotulada "GRANDE", chapa de 2 m por 2 m com 1 círculo inscrito; na segunda, "MÉDIA", chapa com 4 círculos iguais inscritos dispostos em malha 2 por 2; na terceira, "PEQUENA", chapa com 16 círculos iguais inscritos dispostos em malha 4 por 4. À direita, a fórmula da área do círculo: pi r ao quadrado.

As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que

  1. A
    a entidade I recebe mais material do que a entidade II.
  2. B
    a entidade I recebe metade de material do que a entidade III.
  3. C
    a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.
  4. D
    as entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.
  5. E
    as três entidades recebem iguais quantidades de material.
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Resolução comentada

A sobra de cada chapa é a área do quadrado menos a área dos círculos recortados.

O quadrado tem lado 2 m, então sua área é 4\ \text{m}^2.

  1. Grande: 1 círculo inscrito, com diâmetro 2 m, ou seja, r=1. Área do círculo: \pi\cdot 1^2=\pi. Sobra: 4-\pi.

  2. Média: malha 2 por 2, então cada círculo tem diâmetro 1 m e r=0{,}5. Área de um círculo: \pi\cdot 0{,}25. Os 4 círculos somam 4\cdot 0{,}25\pi=\pi. Sobra: 4-\pi.

  3. Pequena: malha 4 por 4, então cada círculo tem diâmetro 0,5 m e r=0{,}25. Área de um círculo: \pi\cdot 0{,}0625. Os 16 círculos somam 16\cdot 0{,}0625\pi=\pi. Sobra: 4-\pi.

Em todas as chapas a área aproveitada é \pi\ \text{m}^2, então a sobra por chapa é a mesma.

Falta considerar a quantidade de chapas. Para 1 tampa grande (1 chapa), são feitas 4 tampas médias (1 chapa, que dá 4 tampas) e 16 pequenas (1 chapa, que dá 16 tampas). Logo, na produção diária, cada tipo usa o mesmo número de chapas, e cada chapa gera a mesma sobra.

Assim, as três entidades recebem a mesma quantidade de material.

Alternativa E.

Pegadinha: A pegadinha é achar que mais círculos menores deixam menos sobra (ou mais); na verdade a área total dos círculos é sempre \pi em cada chapa, então a sobra é igual.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA sobra da chapa grande é 4-\pi, igual à da média; não é maior.
  • BAs sobras são iguais, não há relação de metade entre I e III.
  • CA sobra da média não é o dobro da pequena; ambas valem 4-\pi.
  • DI e II juntas recebem o dobro de III, não menos.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 15 no caderno Amarela do ENEM 2004