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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 do ENEM 2004

Prova · Matemática: Conjuntos e conjuntos numéricos

Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos \text{C}_1, \text{C}_2 e \text{C}_3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que \text{C}_1 e \text{C}_2 terão 10 páginas em comum; \text{C}_1 e \text{C}_3 terão 6 páginas em comum; \text{C}_2 e \text{C}_3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em \text{C}_1.

Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:

  1. A
    135.
  2. B
    126.
  3. C
    118.
  4. D
    114.
  5. E
    110.
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Resolução comentada

Cada página diferente precisa de um único original, então queremos o número de elementos da união dos três conjuntos de páginas. Para isso usamos o princípio da inclusão-exclusão:

n(C_1\cup C_2\cup C_3)=n(C_1)+n(C_2)+n(C_3)-n(C_1\cap C_2)-n(C_1\cap C_3)-n(C_2\cap C_3)+n(C_1\cap C_2\cap C_3)

Dados do enunciado:

  1. Páginas de cada catálogo: 50+45+40=135.
  2. Interseções duas a duas: C_1\cap C_2=10, C_1\cap C_3=6 e C_2\cap C_3=5, somando 10+6+5=21.
  3. Interseção tripla: das 5 páginas comuns a C_2 e C_3, 4 também estão em C_1. Logo n(C_1\cap C_2\cap C_3)=4.

Aplicando a fórmula:

135-21+4=118

Portanto, serão necessários 118 originais de impressão.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem subtrai as interseções duas a duas mas esquece de somar de volta as 4 páginas comuns aos três catálogos.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aapenas soma as páginas dos três catálogos (50+45+40), sem descontar as repetidas.
  • Bsubtrai as interseções duas a duas (135-21=114) e erra ao somar 12 em vez de 4, ou desconta de forma incorreta.
  • Desquece de somar de volta a interseção tripla: 135-21=114.
  • Esubtrai também a interseção tripla duas vezes ou a usa com sinal errado (135-21-4=110).

Assunto: Conjuntos e conjuntos numéricos.

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Ver como caiu na prova Questão 16 no caderno Amarela do ENEM 2004