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Questão 179 do ENEM PPL 2024

2º dia · Matemática · H19 · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Um tanque de armazenamento de líquidos tem o formato de uma pirâmide reta de base quadrada, cujo plano que contém essa base é paralelo a um solo plano e horizontal. Esse tanque tem capacidade de 240 litros e altura de 2 metros. Inicialmente vazio, nele é despejado um líquido à vazão constante de 0{,}015\text{ m}^3/\text{s}.

Sabe-se que 1\text{ L} = 1\text{ dm}^3 = 0{,}001\text{ m}^3.

Tanque em formato de pirâmide reta de base quadrada com o vértice voltado para baixo

Qual expressão fornece a altura, em metro, da coluna de líquido dentro desse tanque em função do tempo t, em segundo?

  1. A
    \sqrt[3]{\dfrac{t}{2}}
  2. B
    \dfrac{\sqrt[3]{t}}{2}
  3. C
    \dfrac{1}{10} \sqrt[3]{\dfrac{t}{2}}
  4. D
    \dfrac{1}{10} \sqrt[3]{\dfrac{t}{8}}
  5. E
    \dfrac{3}{10} \sqrt[3]{\dfrac{t}{2}}
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Resolução comentada

O líquido ocupa uma pirâmide menor, semelhante à pirâmide do tanque (mesmo vértice, voltado para baixo). Em sólidos semelhantes, a razão entre volumes é o cubo da razão entre as alturas.

  1. Volume total: 240\ \text{L} = 240\ \text{dm}^3 = 0{,}24\ \text{m}^3, com altura H = 2\ \text{m}.

  2. Volume de líquido no instante t: V(t) = 0{,}015\,t\ \text{m}^3.

  3. Semelhança, com h a altura da coluna de líquido:

\frac{V(t)}{0{,}24} = \left(\frac{h}{2}\right)^3
  1. Substituindo:
\frac{h^3}{8} = \frac{0{,}015\,t}{0{,}24} = \frac{t}{16}

Logo, h^3 = \dfrac{t}{2}.

  1. Portanto:
h = \sqrt[3]{\frac{t}{2}}

Confira: o tanque enche quando t = 0{,}24/0{,}015 = 16\ \text{s}, e então h = \sqrt[3]{8} = 2\ \text{m}, a altura total. Isso confirma o resultado.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BColoca o 2 fora da raiz cúbica, o que não vem da relação h^3 = t/2 (em t=16 daria \sqrt[3]{16}/2 \neq 2).
  • CMultiplica por 1/10 sem justificativa, o que daria altura muito menor que 2 m em t=16 s.
  • DFator 1/10 e o 8 dentro da raiz não decorrem da semelhança; em t=16 s a altura não chega a 2 m.
  • EO fator 3/10 não aparece na conta; em t=16 s daria 0{,}6 m, e não os 2 m do tanque cheio.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Unidades de medida e conversões, Semelhança e Teorema de Tales.

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