Questão 168 do ENEM PPL 2022

Seja \ell o lado do quadrado ABCD.

O círculo menor está inscrito no quadrado, ou seja, tangencia os quatro lados. Por isso, seu diâmetro é igual ao lado do quadrado:

O círculo maior circunscreve o quadrado, passando pelos quatro vértices. Seu diâmetro é a diagonal BD, que mede \ell\sqrt{2} (diagonal do quadrado, por Pitágoras). Então:

Calculando as áreas:

1. S_1 = \pi r^2 = \pi \dfrac{\ell^2}{4}
2. S_2 = \pi R^2 = \pi \dfrac{2\ell^2}{4} = \pi \dfrac{\ell^2}{2}

A razão da área do círculo maior para a do menor é:

Outra forma de ver: a razão entre os raios é R/r = \sqrt{2}, e a razão entre áreas é o quadrado da razão entre os raios, (\sqrt{2})^2 = 2.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa A engana quem para na razão entre os raios (\sqrt{2}) e esquece que a área depende do quadrado do raio.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Ausa a razão entre os raios (\sqrt{2}) e esquece de elevar ao quadrado para obter a razão entre áreas.
• Binverte a razão, calculando área menor sobre área maior.
• Dnão corresponde a nenhuma relação correta; é resultado de erro nos raios, como usar R=2\ell\sqrt{2} vezes algo.
• Evalor sem base geométrica; sugere confundir as razões dos raios ou diâmetros com potências indevidas.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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