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Questão 166 do ENEM PPL 2022

2º dia · Matemática · H22 · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

A trajetória de uma pessoa que pula de um andaime até o chão é descrita por uma função y=f(x), sendo x e y medidos em metro, conforme mostra a figura.

Gráfico da trajetória de uma pessoa que pula de um andaime. O eixo horizontal é x (metro) e o vertical é y (metro). A trajetória é um trecho da parábola f(x) = ax² + bx + c, que parte de (0; 0,75), atinge aproximadamente (0,75; 1,5) e termina no chão em (1,8; 0).

Seja D o domínio da função f(x), como definida na figura.

Para que a situação representada na figura seja real, o domínio dessa função deve ser igual a

  1. A
    \{x_2\}, sendo x_2 a raiz positiva de f(x).
  2. B
    \{x\in\mathbb{R}\mid 0\leq x\leq x_2\}, sendo x_2 a raiz positiva de f(x).
  3. C
    \{x\in\mathbb{R}\mid x_1\leq x\leq x_2\}, sendo x_1 e x_2 raízes de f(x), com x_1<x_2.
  4. D
    \{x\in\mathbb{R}\mid x\geq 0\}.
  5. E
    x\in\mathbb{R}.
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Resolução comentada

O domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais ela descreve a situação. Aqui, f é uma parábola, que matematicamente existe para todo real, mas a questão pede o domínio para que a situação seja real: o trecho da trajetória da pessoa.

Observe a figura:

  1. O salto começa no andaime, em x=0, onde f(0)=0{,}75 (que é o valor de c).
  2. A pessoa se move para a direita, com x crescendo, até tocar o chão.
  3. O chão é y=0, ou seja, uma raiz de f. A raiz positiva é x_2=1{,}8.
  4. Depois de tocar o chão, a pessoa não continua descendo, e antes do andaime (x<0) ela não estava em movimento.

Assim, a trajetória real vai de x=0 até x=x_2:

D=\{x\in\mathbb{R}\mid 0\leq x\leq x_2\}

A raiz negativa x_1 da parábola não faz parte da situação, pois está à esquerda do andaime. Por isso a alternativa C não serve: ela começaria em x_1<0. Um conjunto unitário (A) seria um único ponto, e x\geq 0 (D) ou todos os reais (E) levariam a parábola para abaixo do chão.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem toma o domínio como o intervalo entre as duas raízes da parábola, esquecendo que o salto só começa em x=0.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AApresenta apenas um ponto (o do pouso), e não o intervalo percorrido no salto.
  • CComeça na raiz negativa x_1, que fica atrás do andaime e não pertence ao movimento.
  • DPermite x além de x_2, o que colocaria a pessoa abaixo do chão.
  • EÉ o domínio da parábola como função pura, ignorando o contexto físico.

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Função quadrática.

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