PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 160 do ENEM PPL 2021

2º dia · Matemática · H9

Um suporte será instalado no box de um banheiro para serem colocados recipientes de xampu, condicionador e sabonete líquido, sendo que o recipiente de cada produto tem a forma de um cilindro circular reto de medida do raio igual a 3 cm. Para maior conforto no interior do box, a proprietária do apartamento decidiu comprar o suporte que tiver a base de menor área, desde que a base de cada recipiente ficasse inteiramente sobre o suporte. Nas figuras, vemos as bases desses suportes, nas quais todas as medidas indicadas estão em centímetro.

Bases dos suportes I e II em malha quadriculada

Bases dos suportes III e IV em malha quadriculada

Base do suporte V em malha quadriculada

Utilize 3,14 como aproximação para \pi.

Para atender à sua decisão, qual tipo de suporte a proprietária comprou?

  1. A
    I
  2. B
    II
  3. C
    III
  4. D
    IV
  5. E
    V
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Cada recipiente é um cilindro de raio 3 cm, então sua base é um círculo de diâmetro 6 cm. Três círculos precisam caber inteiramente sobre a base do suporte.

Primeiro, descartamos os suportes em que não cabem três círculos de diâmetro 6 cm.

  • III (quadrado 6 × 6): cabe só um círculo (área 36 contra 3\cdot 28{,}26 = 84{,}78). Não serve.
  • IV (retângulo 9 × 3): a altura é 3 cm, menor que o diâmetro de 6 cm. Nenhum círculo cabe. Não serve.
  • I (trapézio de bases 12 e 6 e altura 9): a área é \frac{(12+6)\cdot 9}{2} = 81\ \text{cm}^2. Isso é menor que a área dos três círculos, 3\cdot 3{,}14\cdot 9 = 84{,}78\ \text{cm}^2. Não serve.

Restam II e V.

  • II (quadrado 12 × 12): área de 144\ \text{cm}^2. Cabem até 4 círculos de diâmetro 6 (2 × 2), então os três cabem.
  • V (quarto de círculo de raio 13): área \frac{3{,}14\cdot 13^2}{4} = \frac{3{,}14\cdot 169}{4} = 132{,}665\ \text{cm}^2. Para saber se cabem três círculos, coloquemos dois círculos encostados nos lados retos, com centros em (3,3) e (9,3), e o terceiro com centro em (3,9). O ponto mais distante de cada um deles em relação à origem fica a \sqrt{9^2+3^2}+3=\sqrt{90}+3\approx 12{,}5 < 13. Todos cabem dentro do arco.

Como 132{,}665 < 144, o suporte V tem a menor área entre os que comportam os três recipientes.

Alternativa E.

Pegadinha: O suporte I tem a menor área entre os que parecem razoáveis (81 cm²), mas ela é menor que a área dos três círculos, então a alternativa A engana quem só compara áreas.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA área do trapézio, 81 cm², é menor que a dos três círculos (84,78 cm²), então os recipientes não cabem.
  • BOs recipientes cabem, mas a área de 144 cm² é maior que a do suporte V (132,665 cm²).
  • CO quadrado 6 × 6 comporta só um círculo de diâmetro 6, não três.
  • DA largura de 3 cm é menor que o diâmetro de 6 cm, então nenhum recipiente cabe.

Assuntos: área de figuras planas, área do círculo, geometria plana.

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