Questão 173 do ENEM PPL 2016

2º dia · Matemática

A figura mostra a pirâmide de Quéops, também conhecida como a Grande Pirâmide. Esse é o monumento mais pesado que já foi construído pelo homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha, cada um pesando em média 2,5 toneladas. Considere que a pirâmide de Quéops seja regular, sua base seja um quadrado com lados medindo 214 m, as faces laterais sejam triângulos isósceles congruentes e suas arestas laterais meçam 204 m.

Fotografia aérea em preto e branco da Pirâmide de Quéops, destacando duas de suas faces triangulares e a paisagem ao redor.

Disponível em: www.mauroweigel.blogspot.com. Acesso em: 23 nov. 2011.

O valor mais aproximado para a altura da pirâmide de Quéops, em metro, é

  1. A
    97,0.
  2. B
    136,8.
  3. C
    173,7.
  4. D
    189,3.
  5. E
    240,0.
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Resolução comentada

Numa pirâmide regular de base quadrada, o pé da altura h é o centro da base. A aresta lateral, a altura e a metade da diagonal da base formam um triângulo retângulo, no qual a aresta lateral é a hipotenusa.

  1. Diagonal da base: d = 214\sqrt{2}, então a metade é 107\sqrt{2}.
  2. Quadrado dessa metade: (107\sqrt{2})^2 = 11449\cdot 2 = 22898.
  3. Quadrado da aresta lateral: 204^2 = 41616.
  4. Pitágoras: h^2 = 41616 - 22898 = 18718.
  5. Raiz: 136^2 = 18496 e 137^2 = 18769. Como 18718 está bem perto de 18769, h \approx 136{,}8 m.

Conferindo: 136{,}8^2 = 18714{,}2, muito próximo de 18718.

As informações sobre os blocos e o peso não são necessárias para essa pergunta.

Alternativa B.

Pegadinha: Usar a metade do lado (107 m) como cateto no lugar da metade da diagonal (107\sqrt{2}) leva a um valor errado; o pé da altura está no centro da base.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa a metade do lado (107) em vez da metade da diagonal, ou faz outra conta incorreta, chegando a um valor pequeno demais.
  • CValor sem correspondência com o triângulo retângulo correto; não sai de \sqrt{204^2-(107\sqrt2)^2}.
  • DNão sai de nenhum cálculo correto; supera a aresta lateral de 204 m com margem indevida no raciocínio, sendo muito alto.
  • EMaior que a própria aresta lateral (204 m), o que é impossível, pois a altura é cateto e a aresta é hipotenusa.

Assuntos: pirâmide, teorema de Pitágoras, geometria espacial.

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