Questão 155 do ENEM PPL 2016

2º dia · Matemática

No início de janeiro de um determinado ano, uma família decidiu economizar para as férias de julho daquele ano, guardando uma quantia por mês. Eles decidiram que, em janeiro, guardariam R$ 300,00 e, a partir de fevereiro, guardariam, a cada mês, 20% a mais do que no mês anterior.

Qual foi o total economizado (em real) no primeiro semestre do ano, abandonando, por arredondamento, possíveis casas decimais nesse resultado?

  1. A
    1 800,00
  2. B
    2 100,00
  3. C
    2 160,00
  4. D
    2 978,00
  5. E
    3 874,00
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Resolução comentada

Guardar 20% a mais que no mês anterior significa multiplicar o valor anterior por 1{,}2. Então os valores mensais formam uma progressão geométrica (PG) com primeiro termo a_1 = 300 e razão q = 1{,}2.

O primeiro semestre tem 6 meses (janeiro a junho), e a soma dos n primeiros termos de uma PG é:

S_n = a_1\cdot\frac{q^n - 1}{q - 1}
  1. Calculamos 1{,}2^6: 1{,}2^2 = 1{,}44; 1{,}2^3 = 1{,}728; 1{,}2^6 = 1{,}728^2 = 2{,}985984.
  2. Numerador: 2{,}985984 - 1 = 1{,}985984.
  3. Denominador: 1{,}2 - 1 = 0{,}2.
  4. Divisão: \frac{1{,}985984}{0{,}2} = 9{,}92992.
  5. Soma: S_6 = 300 \cdot 9{,}92992 = 2\,978{,}976.

Descartando as casas decimais, como pede o enunciado, o total é R$ 2 978,00.

Conferindo mês a mês: 300; 360; 432; 518,40; 622,08; 746,50. Somando: 300+360+432 = 1092; +518{,}40 = 1610{,}40; +622{,}08 = 2232{,}48; +746{,}50 \approx 2979. O resultado bate com a fórmula.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem soma 7 termos da PG, contando julho, embora o enunciado peça só o primeiro semestre (6 meses).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma 6 parcelas fixas de R$ 300,00, ignorando o aumento mensal.
  • BTrata o aumento como linear (R$ 60 por mês), sem juros compostos, ou soma valores incorretos.
  • CAplica 20% sobre o total ou sobre R$ 1 800,00 uma só vez (1 800 · 1,2), sem capitalizar mês a mês.
  • ESoma 7 termos da PG (janeiro a julho) em vez de 6.

Assuntos: progressão geométrica, porcentagem.

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