Questão 154 do ENEM PPL 2016

2º dia · Matemática

No projeto de arborização de uma praça está prevista a construção de um canteiro circular. Esse canteiro será constituído de uma área central e de uma faixa circular ao seu redor, conforme ilustra a figura.

Dois círculos concêntricos delimitam uma área central branca e uma faixa circular sombreada em cinza. Uma seta vertical do centro até a circunferência interna indica o raio r; outra seta do centro até a circunferência externa, inclinada para a direita e para cima, indica o raio R.

Deseja-se que a área central seja igual à área da faixa circular sombreada.

A relação entre os raios do canteiro (R) e da área central (r) deverá ser

  1. A
    R = 2r
  2. B
    R = r\sqrt{2}
  3. C
    R = \dfrac{r^2 + 2r}{2}
  4. D
    R = r^2 + 2r
  5. E
    R = \dfrac{3}{2}r
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Resolução comentada

O canteiro inteiro é um círculo de raio R, e a área central é um círculo de raio r. A faixa sombreada é o que sobra quando se tira o círculo menor do maior.

A área de um círculo de raio x é \pi x^2. Então:

  1. Área central: A_c = \pi r^2
  2. Área da faixa: A_f = \pi R^2 - \pi r^2

O enunciado pede A_c = A_f:

\pi r^2 = \pi R^2 - \pi r^2

Passando \pi r^2 para o outro lado:

\pi R^2 = 2\pi r^2

Dividindo por \pi:

R^2 = 2r^2

Como os raios são positivos, extraímos a raiz quadrada:

R = r\sqrt{2}

Faz sentido: o círculo maior tem o dobro da área do menor, e a área cresce com o quadrado do raio, por isso o raio cresce pelo fator \sqrt{2}, e não por 2.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem iguala 'o dobro da área' ao 'dobro do raio', esquecendo que a área depende do quadrado do raio.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Adobra o raio em vez de dobrar a área; com R=2r a área total seria 4 vezes a central.
  • Cexpressão sem sentido geométrico, não decorre de \pi R^2 = 2\pi r^2.
  • Dtambém não decorre da igualdade das áreas; mistura r^2 com 2r como se fosse área e perímetro.
  • Ecom R=\frac{3}{2}r a área total seria 2{,}25 vezes a central, e não 2 vezes.

Assuntos: área do círculo, coroa circular.

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