Questão 154 do ENEM PPL 2014

Question

Um artista deseja pintar em um quadro uma figura na forma de triângulo equilátero ABC de lado 1 metro. Com o objetivo de dar um efeito diferente em sua obra, o artista traça segmentos que unem os pontos médios D, E e F dos lados BC, AC e AB, respectivamente, colorindo um dos quatro triângulos menores, como mostra a figura.

Triângulo equilátero ABC dentro de uma moldura retangular. Os pontos médios dos lados BC, AC e AB são identificados por D, E e F, respectivamente. O triângulo central DEF está preenchido em cinza escuro.

Qual é a medida da área pintada, em metros quadrados, do triângulo DEF?

A
\frac{1}{16}
B
\frac{\sqrt{3}}{16}
C
\frac{1}{8}
D
\frac{\sqrt{3}}{8}
E
\frac{\sqrt{3}}{4}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 154 do ENEM PPL 2014

2º dia · Matemática · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Um artista deseja pintar em um quadro uma figura na forma de triângulo equilátero ABC de lado 1 metro. Com o objetivo de dar um efeito diferente em sua obra, o artista traça segmentos que unem os pontos médios D, E e F dos lados BC, AC e AB, respectivamente, colorindo um dos quatro triângulos menores, como mostra a figura.

Triângulo equilátero ABC dentro de uma moldura retangular. Os pontos médios dos lados BC, AC e AB são identificados por D, E e F, respectivamente. O triângulo central DEF está preenchido em cinza escuro.

Qual é a medida da área pintada, em metros quadrados, do triângulo DEF?

A
\frac{1}{16}
B
\frac{\sqrt{3}}{16}
C
\frac{1}{8}
D
\frac{\sqrt{3}}{8}
E
\frac{\sqrt{3}}{4}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e mede metade dele (base média). Por isso, os três segmentos DE, EF e FD medem cada um \frac{1}{2} m, e o triângulo DEF também é equilátero, de lado \frac{1}{2} m.

A área de um triângulo equilátero de lado \ell é:

A = \frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}

Triângulo grande, \ell = 1: A_{ABC} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}.
Triângulo pintado, \ell = \frac{1}{2}: A_{DEF} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{1}{4}\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16}.

Conferência: os segmentos dividem ABC em 4 triângulos equiláteros iguais, então a área de cada um é \frac{1}{4} da área total: \frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{16}. Confere.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AElimina o \sqrt{3} da fórmula da área do triângulo equilátero.
CTambém ignora o \sqrt{3} e usa um valor sem relação com a área do triângulo.
DUsa a metade da área total, esquecendo que o triângulo pintado é apenas \frac{1}{4} dela.
EÉ a área do triângulo ABC inteiro, de lado 1 m, e não do triângulo DEF.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 154 no caderno Cinza do ENEM PPL 2014