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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 145 do ENEM PPL 2014

2º dia · Matemática · Matemática: Poliedros e relação de Euler

Um lojista adquiriu novas embalagens para presentes que serão distribuídas aos seus clientes. As embalagens foram entregues para serem montadas e têm forma dada pela figura.

Planificação de uma embalagem constituída por cinco faces retangulares adjacentes alinhadas lado a lado e duas faces pentagonais conectadas às bases das faces retangulares das pontas.

Após montadas, as embalagens formarão um sólido com quantas arestas?

  1. A
    10
  2. B
    12
  3. C
    14
  4. D
    15
  5. E
    16
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Resolução comentada

A planificação tem cinco faces retangulares em fila e duas faces pentagonais, uma em cada base. Ao montar, o sólido é um prisma pentagonal: as cinco faces retangulares são as faces laterais e os dois pentágonos são as bases.

Aresta é o segmento onde duas faces se encontram. Vamos contar por tipo:

  1. Arestas da base de cima: o pentágono tem 5 lados, logo 5 arestas.
  2. Arestas da base de baixo: igualmente 5 arestas.
  3. Arestas laterais: cada encontro entre duas faces retangulares vizinhas forma uma aresta lateral. Ao fechar a embalagem, o primeiro e o quinto retângulo também se encontram, então há 5 arestas laterais (uma por vértice do pentágono).

Total:

5 + 5 + 5 = 15

Conferindo com a relação de Euler, V - A + F = 2: o prisma tem V = 10 vértices e F = 7 faces, então A = V + F - 2 = 10 + 7 - 2 = 15. Confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconta só as arestas de uma base e as laterais sem uma das bases, ou apenas os vértices (10).
  • Bnão corresponde a nenhuma contagem correta; subestima as arestas laterais ou das bases.
  • Cesquece de contar uma aresta, por exemplo a lateral formada ao fechar o primeiro e o último retângulo.
  • Econta arestas a mais, como se houvesse uma aresta lateral extra além das cinco.

Assuntos: Poliedros e relação de Euler, Prismas e paralelepípedos.

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