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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 158 do ENEM PPL 2012

2º dia · Matemática · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas Gabarito corrigido

Uma pizzaria oferece, no cardápio, duas opções de tamanhos e preços:

Pizza média (6 fatias): R$ 24,00

Pizza grande (8 fatias): R$ 32,00

Um grupo de jovens estava prestes a decidir o tipo de pizza com melhor custo-benefício, quando um dos amigos questionou ao garçom a respeito do diâmetro de cada uma das pizzas. A informação obtida foi de que os diâmetros das pizzas média e grande eram, respectivamente, 30 cm e 40 cm. Considerando que os dois tamanhos e preços das pizzas atendem o grupo e que não haverá desperdício, iniciou-se um debate entre eles:

  • Alan: A pizza grande tem melhor custo-benefício, pois a área de sua fatia é superior à área da fatia da pizza média.
  • Breno: A pizza média tem melhor custo-benefício, pois, como é dividida em menos fatias, cada fatia tem uma maior quantidade de pizza.
  • Cleber: As duas apresentam a mesma relação custo-benefício, já que cada fatia custa R$ 4,00, independentemente da escolha do tamanho.
  • Davidson: Como a razão entre os diâmetros e os preços das pizzas é a mesma, nenhuma das pizzas tem melhor custo-benefício que a outra.
  • Eric: A pizza grande possui melhor relação custo-benefício, pois, independentemente do diâmetro, ela é dividida em um número maior de fatias.

Qual jovem apresentou o melhor argumento para a escolha da pizza?

  1. A
    Alan.
  2. B
    Breno.
  3. C
    Cleber.
  4. D
    Davidson.
  5. E
    Eric.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O custo-benefício aqui é o preço por unidade de área de pizza, ou seja, quanto se paga por cm² de pizza. A quantidade de pizza depende da área do círculo, A=\pi r^2, e não do número de fatias nem do diâmetro.

  1. Pizza média: diâmetro 30 cm, raio 15 cm, área \pi\cdot 15^2 = 225\pi\ \text{cm}^2. Preço por área: \dfrac{24}{225\pi}\approx \dfrac{0{,}1067}{\pi}.
  2. Pizza grande: diâmetro 40 cm, raio 20 cm, área \pi\cdot 20^2 = 400\pi\ \text{cm}^2. Preço por área: \dfrac{32}{400\pi}=\dfrac{0{,}08}{\pi}.

A grande é mais barata por cm², portanto tem melhor custo-benefício.

Área de cada fatia:

  • média: \dfrac{225\pi}{6}=37{,}5\pi;
  • grande: \dfrac{400\pi}{8}=50\pi.

A fatia da grande é maior e custa o mesmo, R$ 4,00. Logo, cada fatia da grande dá mais pizza pelo mesmo preço, o que confirma o argumento de Alan.

Os demais argumentos falham: o preço por fatia igual não basta, pois as fatias têm tamanhos diferentes; a área não é proporcional ao diâmetro, e sim ao quadrado dele; e o número de fatias sozinho não mede a quantidade de pizza.

Alternativa A.

Pegadinha: Cleber engana ao igualar o preço por fatia (R$ 4,00) e esquecer que a fatia da grande é maior; Davidson engana ao tratar a área como proporcional ao diâmetro.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BFatia da média é menor (37{,}5\pi contra 50\pi); ter menos fatias não faz cada uma ser maior, pois as pizzas têm áreas diferentes.
  • CCompara só o preço por fatia (R$ 4,00), ignorando que as fatias têm áreas diferentes.
  • DA área depende do quadrado do diâmetro, não é proporcional a ele, então a razão diâmetro/preço não mede custo-benefício.
  • EMais fatias não significa mais pizza; o que importa é a área total, e o argumento ignora o diâmetro.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Lucro, custo e comparação de preços.

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Ver como caiu na prova Questão 158 no caderno Cinza do ENEM PPL 2012