Questão 159 do ENEM PPL 2012

Question

Uma prefeitura possui modelos de lixeira de forma cilíndrica, sem tampa, com raio medindo 10 cm e altura de 50 cm. Para fazer uma compra adicional, solicita à empresa fabricante um orçamento de novas lixeiras, com a mesma forma e outras dimensões. A prefeitura só irá adquirir as novas lixeiras se a capacidade de cada uma for no mínimo dez vezes maior que o modelo atual e seu custo unitário não ultrapassar R$ 20,00. O custo de cada lixeira é proporcional à sua área total e o preço do material utilizado na sua fabricação é de R$ 0,20 para cada 100\ \text{cm}^2. A empresa apresenta um orçamento discriminando o custo unitário e as dimensões, com o raio sendo o triplo do anterior e a altura aumentada em 10 cm. (Aproxime \pi para 3.)

O orçamento dessa empresa é rejeitado pela prefeitura, pois

A
o custo de cada lixeira ficou em R$ 21,60.
B
o custo de cada lixeira ficou em R$ 27,00.
C
o custo de cada lixeira ficou em R$ 32,40.
D
a capacidade de cada lixeira ficou 3 vezes maior.
E
capacidade de cada lixeira ficou 9 vezes maior.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 159 do ENEM PPL 2012

2º dia · Matemática · Matemática: Cilindro

Uma prefeitura possui modelos de lixeira de forma cilíndrica, sem tampa, com raio medindo 10 cm e altura de 50 cm. Para fazer uma compra adicional, solicita à empresa fabricante um orçamento de novas lixeiras, com a mesma forma e outras dimensões. A prefeitura só irá adquirir as novas lixeiras se a capacidade de cada uma for no mínimo dez vezes maior que o modelo atual e seu custo unitário não ultrapassar R$ 20,00. O custo de cada lixeira é proporcional à sua área total e o preço do material utilizado na sua fabricação é de R$ 0,20 para cada 100\ \text{cm}^2. A empresa apresenta um orçamento discriminando o custo unitário e as dimensões, com o raio sendo o triplo do anterior e a altura aumentada em 10 cm. (Aproxime \pi para 3.)

O orçamento dessa empresa é rejeitado pela prefeitura, pois

A
o custo de cada lixeira ficou em R$ 21,60.
B
o custo de cada lixeira ficou em R$ 27,00.
C
o custo de cada lixeira ficou em R$ 32,40.
D
a capacidade de cada lixeira ficou 3 vezes maior.
E
capacidade de cada lixeira ficou 9 vezes maior.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A prefeitura exige duas condições: capacidade (volume) de pelo menos 10 vezes a do modelo atual e custo unitário de no máximo R$ 20,00. Vamos testar o orçamento.

Modelo atual: r = 10 cm e h = 50 cm.

V_1 = \pi r^2 h = 3\cdot 100\cdot 50 = 15\,000\ \text{cm}^3

Nova lixeira: raio triplo, r = 30 cm, e altura h = 60 cm.

V_2 = 3\cdot 900\cdot 60 = 162\,000\ \text{cm}^3

Comparando: \dfrac{162\,000}{15\,000} = 10{,}8. Como 10{,}8 \ge 10, a condição de capacidade é atendida. Isso já elimina as alternativas D e E.

Custo: a lixeira não tem tampa, então a área total é a da base (um só círculo) mais a lateral:

Base: \pi r^2 = 3\cdot 900 = 2\,700\ \text{cm}^2
Lateral: 2\pi r h = 2\cdot 3\cdot 30\cdot 60 = 10\,800\ \text{cm}^2
Área total: 2\,700 + 10\,800 = 13\,500\ \text{cm}^2

O material custa R$ 0,20 a cada 100\ \text{cm}^2, ou seja, 13\,500 \div 100 = 135 blocos:

135 \cdot 0{,}20 = \text{R\$ } 27{,}00

Como 27{,}00 > 20{,}00, o orçamento é rejeitado pelo custo.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem calcula duas bases (com tampa), esquecendo que a lixeira é sem tampa.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa uma área menor que a correta (por exemplo, a lateral mais a base com erro), chegando a R$ 21,60 em vez de R$ 27,00.
CConta a área de duas bases (como se a lixeira tivesse tampa), chegando a R$ 32,40, mas a lixeira é sem tampa.
DA capacidade ficou 10,8 vezes maior, não 3 vezes; o triplo é só o aumento do raio.
EA capacidade ficou 10,8 vezes maior, não 9 vezes; ignora o aumento da altura.

Assuntos: Cilindro, Grandezas proporcionais e divisão proporcional.

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Questão 159 no caderno Cinza do ENEM PPL 2012