PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 161 do ENEM PPL 2011

2º dia · Matemática · Matemática: Função quadrática

Uma escola tem um terreno vazio no formato retangular cujo perímetro é 40\text{ m}, onde se pretende realizar uma única construção que aproveite o máximo de área possível.

Após a análise realizada por um engenheiro, este concluiu que para atingir o máximo de área do terreno com uma única construção, a obra ideal seria

  1. A
    um banheiro com 8\text{ m}^2.
  2. B
    uma sala de aula com 16\text{ m}^2.
  3. C
    um auditório com 36\text{ m}^2.
  4. D
    um pátio com 100\text{ m}^2.
  5. E
    uma quadra com 160\text{ m}^2.
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Resolução comentada

O terreno é um retângulo de perímetro 40\ \text{m}, então a soma de dois lados vizinhos é 20\ \text{m}. Chamando os lados de x e 20-x, a área é:

A(x) = x(20-x) = -x^2 + 20x

Essa é uma função do 2º grau com concavidade para baixo, que tem valor máximo no vértice.

  1. Abscissa do vértice: x_v = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-20}{2\cdot(-1)} = 10.
  2. Então os lados são 10\ \text{m} e 20-10 = 10\ \text{m}, ou seja, o retângulo de maior área é o quadrado.
  3. Área máxima: A = 10 \cdot 10 = 100\ \text{m}^2.

Logo, nenhuma construção pode ter mais que 100\ \text{m}^2. A construção ideal é a que usa o terreno todo, com a maior área possível, sem ultrapassar esse limite.

As opções de 8, 16 e 36\ \text{m}^2 cabem no terreno, mas não aproveitam o máximo. A quadra de 160\ \text{m}^2 é impossível, pois excede 100\ \text{m}^2. Só o pátio de 100\ \text{m}^2 atinge exatamente o máximo.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem escolhe a maior área listada sem verificar que ela excede o máximo possível (100\ \text{m}^2) para o perímetro dado.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A8\ \text{m}^2 cabe no terreno, mas está muito abaixo da área máxima de 100\ \text{m}^2.
  • B16\ \text{m}^2 é possível, porém não aproveita o máximo de área.
  • C36\ \text{m}^2 é possível, mas não é o máximo; seria um retângulo de lados como 2 e 18.
  • E160\ \text{m}^2 é impossível: a maior área com perímetro 40\ \text{m} é 100\ \text{m}^2.

Assuntos: Função quadrática, Áreas e perímetros de polígonos.

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