PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 144 do ENEM PPL 2011

2º dia · Matemática · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

A figura que segue é formada por 5 quadrados congruentes, cuja medida do lado é L, e um quadrado ABCD com vértices em um único vértice de quatro dos cinco quadrados.

Cinco quadrados congruentes de lado L dispostos em formato de cruz sobrepostos por um quadrado com vértices A, B, C e D em vértices externos da cruz

A área do quadrado ABCD é equivalente à área de um retângulo de lados

  1. A
    2L e 3L.
  2. B
    3L e 1L.
  3. C
    3L e 3L.
  4. D
    4L e 1L.
  5. E
    5L e 1L.
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Resolução comentada

A figura é uma cruz de 5 quadrados de lado L: um central, um acima, um abaixo, um à esquerda e um à direita. Os vértices de ABCD ficam nas pontas dos braços da cruz.

Pela figura, A é o canto superior direito do quadrado de cima, B é o canto superior esquerdo do quadrado da esquerda, C é o canto inferior esquerdo do quadrado de baixo e D é o canto inferior direito do quadrado da direita.

Colocando o canto inferior esquerdo do quadrado central na origem, as coordenadas são:

  • A=(2L,\,3L)
  • B=(-L,\,2L)
  • C=(0,\,-L)
  • D=(3L,\,L)

O lado AB tem deslocamento horizontal 3L e vertical L. Pelo teorema de Pitágoras:

AB^2=(3L)^2+L^2=10L^2

Como ABCD é um quadrado, sua área é o lado ao quadrado:

\text{Área}=10L^2

Conferindo por outro caminho: a cruz tem área 5L^2. Os 4 triângulos claros nos cantos são retângulos com catetos L e 2L, cada um com área \dfrac{L\cdot 2L}{2}=L^2. Eles somam 4L^2, mas dois catetos de cada triângulo... Por isso é mais seguro usar o lado: cada triângulo claro tem catetos L e 2L? Não: a parte clara de cada canto é um triângulo de catetos L e L (área L^2/2), e há partes do quadrado que ficam sobre os braços. A conta do lado AB é direta e basta.

Agora procuramos o retângulo de área 10L^2. Os produtos das alternativas são: A 6L^2, B 3L^2, C 9L^2, D 4L^2, E 5L^2. Nenhum dá 10L^2, então reviso o lado.

Revendo: A e B estão nos cantos mostrados, com A=(2L,3L)? O quadrado de cima ocupa x de 0 a L, logo A=(L,3L) (canto superior direito). Então o deslocamento de B=(-L,2L) até A é 2L na horizontal e L na vertical, e AB^2=5L^2.

Área =5L^2, equivalente ao retângulo de lados 5L e 1L.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá área 6L^2, que não corresponde a AB^2=5L^2.
  • BDá área 3L^2, menor que a área do quadrado.
  • CDá área 9L^2, valor que não aparece no quadrado ABCD.
  • DDá área 4L^2, ignorando a parte clara dos triângulos.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Áreas e perímetros de polígonos.

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