PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 145 do ENEM PPL 2011

2º dia · Matemática · Matemática: Grandezas proporcionais e divisão proporcional

Pedro ganhou R$ 360 000,00 em uma loteria federal e resolveu dividir integralmente o prêmio entre os seus três filhos, Ana, Renato e Carlos, de forma que cada um receba uma quantia que seja inversamente proporcional às suas idades.

Sabendo que Ana tem 4 anos, Renato, 5 anos e Carlos, 20 anos, eles receberão, respectivamente,

  1. A
    R$ 54 000,00; R$ 216 000,00 e R$ 90 000,00.
  2. B
    R$ 90 000,00; R$ 54 000,00 e R$ 216 000,00.
  3. C
    R$ 216 000,00; R$ 90 000,00 e R$ 54 000,00.
  4. D
    R$ 180 000,00; R$ 144 000,00 e R$ 36 000,00.
  5. E
    R$ 180 000,00; R$ 120 000,00 e R$ 60 000,00.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Dizer que as quantias são inversamente proporcionais às idades significa que cada quantia é proporcional ao inverso da idade. Então:

a=\frac{k}{4},\quad r=\frac{k}{5},\quad c=\frac{k}{20}

onde k é a constante de proporcionalidade.

  1. A soma das quantias é o prêmio inteiro:
\frac{k}{4}+\frac{k}{5}+\frac{k}{20}=360\,000
  1. Com denominador comum 20:
\frac{5k+4k+k}{20}=\frac{10k}{20}=\frac{k}{2}=360\,000 \Rightarrow k=720\,000
  1. Calculando cada parte:
  • Ana: \dfrac{720\,000}{4}=180\,000
  • Renato: \dfrac{720\,000}{5}=144\,000
  • Carlos: \dfrac{720\,000}{20}=36\,000

Conferindo: 180\,000+144\,000+36\,000=360\,000. ✓

O mais novo (Ana) recebe mais e o mais velho (Carlos) recebe menos, como esperado numa divisão inversamente proporcional.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValores não somam o prêmio de forma coerente e não respeitam a proporção inversa (Renato recebe mais que Ana).
  • BDá o maior valor a Renato, a ordem não segue a idade inversa; Carlos, o mais velho, não pode receber mais que Ana.
  • CSoma 360 000, mas as razões não são inversas às idades 4, 5 e 20.
  • ESoma 360 000, mas Ana e Renato deveriam estar na razão 5:4, e aqui estão em 3:2.

Assunto: Grandezas proporcionais e divisão proporcional.

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