PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 143 do ENEM PPL 2011

2º dia · Matemática · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Um programador visual deseja modificar uma imagem, aumentando seu comprimento e mantendo sua largura. As figuras 1 e 2 representam, respectivamente, a imagem original e a transformada pela duplicação do comprimento.

Dois planos cartesianos com eixos x e y lado a lado, rotulados como Figura 1 e Figura 2. Em cada plano há uma figura estilizada formada por retângulos cinzas representando olhos, nariz e boca. Na Figura 1, a boca possui uma aresta ligando os pontos A₁(1, 2) e B₁(2, 1), sobre a qual passa a reta tracejada r₁. Na Figura 2, com o comprimento duplicado horizontalmente, os pontos correspondentes da boca tornam-se A₂(2, 2) e B₂(4, 1), sobre os quais passa a reta tracejada r₂.

Para modelar todas as possibilidades de transformação no comprimento dessa imagem, o programador precisa descobrir os padrões de todas as retas que contêm os segmentos que contornam os olhos, o nariz e a boca e, em seguida, elaborar o programa.

No exemplo anterior, o segmento \text{A}_1\text{B}_1 da figura 1, contido na reta \text{r}_1, transformou-se no segmento \text{A}_2\text{B}_2 da figura 2, contido na reta \text{r}_2.

Suponha que, mantendo constante a largura da imagem, seu comprimento seja multiplicado por n, sendo n um número inteiro e positivo, e que, dessa forma, a reta \text{r}_1 sofra as mesmas transformações. Nessas condições, o segmento \text{A}_n\text{B}_n estará contido na reta \text{r}_n.

A equação algébrica que descreve \text{r}_n, no plano cartesiano, é

  1. A
    x + ny = 3n.
  2. B
    x - ny = -n.
  3. C
    x - ny = 3n.
  4. D
    nx + ny = 3n.
  5. E
    nx + 2ny = 6n.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Multiplicar o comprimento por n significa que cada coordenada x é multiplicada por n, enquanto y não muda. Assim, (x, y) \to (nx, y).

Primeiro, a reta r_1, que passa por A_1(1, 2) e B_1(2, 1):

  1. Coeficiente angular: m = \dfrac{1-2}{2-1} = -1.
  2. Equação: y - 2 = -1(x - 1), ou seja, x + y = 3.

Agora a transformação. Um ponto (x', y') de r_n vem de um ponto (x, y) de r_1 com x' = nx e y' = y. Logo x = \dfrac{x'}{n} e y = y'. Substituindo em x + y = 3:

\frac{x'}{n} + y' = 3

Multiplicando tudo por n: x' + ny' = 3n.

Conferência com n = 2: a equação fica x + 2y = 6. Com A_2(2, 2): 2 + 4 = 6 ✓. Com B_2(4, 1): 4 + 2 = 6 ✓. Isso bate com a figura 2.

Portanto, a equação de r_n é x + ny = 3n.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bo coeficiente angular e o termo independente não correspondem a r_1; A_1 não satisfaz x - ny = -n para n=1 (daria 1-2=-1, mas falha com B_1: 2-1=1\neq-1).
  • Ctroca o sinal de y, o que dá reta crescente, mas r_1 é decrescente.
  • Dmultiplica também o y por n, o que alteraria a largura, que deve ficar constante.
  • Eé equivalente a x+2y=6 apenas para n=1 na forma dividida; falha para n geral, pois o coeficiente de y fica 2n em vez de n.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Transformações geométricas e localização.

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