PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 168 do ENEM PPL 2010

2º dia · Matemática · Matemática: Cone e tronco de cone

Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura.

Esquema geométrico em forma de cone reto gerado pela iluminação da luminária no vértice superior. A altura é indicada por h, a geratriz lateral por g = 5 m, e a base circular sombreada mostra o raio perpendicular ao eixo da altura com a indicação de um ângulo reto no centro.

Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28{,}26\text{ m}^2, considerando \pi \cong 3{,}14, a altura h será igual a

  1. A
    3 m.
  2. B
    4 m.
  3. C
    5 m.
  4. D
    9 m.
  5. E
    16 m.
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Resolução comentada

A luz da luminária forma um cone reto. A altura h, o raio r da base e a geratriz g formam um triângulo retângulo, em que g é a hipotenusa (o ângulo reto está no centro da base). Então g^2 = h^2 + r^2.

Primeiro, achamos o raio da área iluminada, que é um círculo:

  1. A = \pi r^2 = 28{,}26
  2. 3{,}14\, r^2 = 28{,}26
  3. r^2 = \dfrac{28{,}26}{3{,}14} = 9, logo r = 3\ \text{m}

Agora, com g = 5\ \text{m}, aplicamos Pitágoras:

  1. 5^2 = h^2 + 3^2
  2. 25 = h^2 + 9
  3. h^2 = 16, logo h = 4\ \text{m}

É o clássico triângulo 3-4-5.

Alternativa B.

Pegadinha: As alternativas A, C, D e E trazem valores que aparecem no caminho (raio, geratriz, r^2, h^2), enganando quem para antes do fim.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A3 m é o raio da base, não a altura.
  • C5 m é a geratriz, a hipotenusa do triângulo.
  • D9 m é o valor de r^2, não de h.
  • E16 m é o valor de h^2; faltou extrair a raiz quadrada.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Teorema de Pitágoras e relações métricas, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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