PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 167 do ENEM PPL 2010

2º dia · Matemática · Matemática: Progressão aritmética

O trabalho em empresas de festas exige dos profissionais conhecimentos de diferentes áreas. Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal.

Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas.

Esboço das linhas do painel: 1ª linha com 1 estrela, 2ª com 2 estrelas, 3ª com 3 estrelas, 4ª com 4 estrelas, 5ª com 5 estrelas, seguidas de reticências e a indicação da 150ª linha

Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou sua resposta:

FUNCIONÁRIO I: aproximadamente 200 estrelas.
FUNCIONÁRIO II: aproximadamente 6 000 estrelas.
FUNCIONÁRIO III: aproximadamente 12 000 estrelas.
FUNCIONÁRIO IV: aproximadamente 22 500 estrelas.
FUNCIONÁRIO V: aproximadamente 22 800 estrelas.

Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da quantidade de estrelas necessária?

  1. A
    I
  2. B
    II
  3. C
    III
  4. D
    IV
  5. E
    V
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Resolução comentada

A linha n tem n estrelas, então o total é a soma 1 + 2 + 3 + \dots + 150, uma progressão aritmética de razão 1.

A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por:

S_n = \frac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}

Substituindo a_1 = 1, a_n = 150 e n = 150:

  1. a_1 + a_n = 1 + 150 = 151
  2. 151 \cdot 150 = 22\,650
  3. S_{150} = \dfrac{22\,650}{2} = 11\,325

São necessárias 11\,325 estrelas.

Comparando com as respostas, pela diferença até 11\,325:

  • I: |200 - 11\,325| = 11\,125
  • II: |6\,000 - 11\,325| = 5\,325
  • III: |12\,000 - 11\,325| = 675
  • IV: |22\,500 - 11\,325| = 11\,175
  • V: |22\,800 - 11\,325| = 11\,475

A menor diferença é a do funcionário III.

Alternativa C.

Pegadinha: As alternativas D e E enganam quem calcula (1+150)\cdot 150 \approx 22\,650 e esquece de dividir por 2 na fórmula da soma da PA.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A200 está muito abaixo do total; ignora que a soma cresce até a linha 150.
  • B6 000 fica a mais de 5 000 estrelas do valor real de 11 325.
  • D22 500 é aproximadamente 150\cdot 150, ou seja, o dobro do real, pois esquece de dividir por 2.
  • E22 800 também vem de não dividir por 2 a soma (1+150)\cdot150, ficando ainda mais distante.

Assunto: Progressão aritmética.

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