PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 164 do ENEM PPL 2010

2º dia · Matemática · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Devido aos fortes ventos, uma empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança de suas plataformas marítimas, colocando cabos de aço para melhor afixar a torre central.

Considere que os cabos ficarão perfeitamente esticados e terão uma extremidade no ponto médio das arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre central e centro coincidente com o centro da base da pirâmide), como sugere a ilustração.

Ilustração em perspectiva da plataforma marítima com formato prismático quadrangular e a torre central em formato de pirâmide quadrangular regular no topo. Cabos de aço conectam cada um dos quatro vértices da base quadrada da plataforma aos pontos médios das quatro arestas laterais da pirâmide.

Se a altura e a aresta da base da torre central medem, respectivamente, 24\text{ m} e 6\sqrt{2}\text{ m} e o lado da base da plataforma mede 19\sqrt{2}\text{ m}, então a medida, em metros, de cada cabo será igual a

  1. A
    \sqrt{288}
  2. B
    \sqrt{313}
  3. C
    \sqrt{328}
  4. D
    \sqrt{400}
  5. E
    \sqrt{505}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Coloque a origem no centro da base da pirâmide. Como a base da torre é um quadrado de lado 6\sqrt{2}, sua diagonal mede 6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=12 m, então a distância do centro a cada vértice da base é 6 m.

A aresta lateral liga o vértice da base (a 6 m do centro, altura 0) ao topo (sobre o centro, altura 24). Seu ponto médio fica, portanto, a 3 m do eixo da torre (na direção do vértice) e a 12 m de altura.

A plataforma é um quadrado de lado 19\sqrt{2}, com diagonal 19\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=38 m. Logo, o vértice da plataforma está a 19 m do centro, na mesma direção diagonal do vértice da torre (os lados são paralelos e os centros coincidem).

O cabo liga dois pontos no mesmo plano vertical que contém a diagonal:

  1. Distância horizontal: 19-3=16 m.
  2. Distância vertical: 12-0=12 m (a plataforma está no nível da base da torre).
  3. Comprimento do cabo:
c=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20\text{ m}.

Alternativa D.

Pegadinha: Confundir o lado (19\sqrt{2}) com a distância ao centro: o que vale é a metade da diagonal, 19 m, e o ponto médio da aresta fica a 3 m do eixo, não a 6 m.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa distância horizontal incorreta (por exemplo 12 e 12), não descontando os 3 m corretamente.
  • BErro na distância horizontal ao misturar lado e diagonal, gerando 16^2+ 57 ou valor sem relação com a geometria.
  • CUsa horizontal de valor errado (por exemplo \sqrt{184} ao quadrado) por confundir metade da diagonal com o lado.
  • EUsa 19+3=22 como distância horizontal: 22^2+12^2=628, ou outro erro; não corresponde ao posicionamento correto.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Pirâmides e tronco de pirâmide.

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