Questão 47 (CFS 1) da EEAR 2025

Cada triângulo equilátero tem vértice em O e ângulo de 60^\circ nesse vértice. A circunferência passa pelos pontos médios das alturas, então o raio é metade da altura.

1. Altura do triângulo: h = \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{4\sqrt3}{2} = 2\sqrt3\ \text{cm}.
2. Raio do círculo: r = \dfrac{h}{2} = \sqrt3\ \text{cm}.
3. Área do círculo: \pi r^2 = 3\pi\ \text{cm}^2.

Agora, os ângulos em torno de O. Os quatro triângulos ocupam 4\cdot 60^\circ = 240^\circ (os triângulos opostos pelo vértice têm ângulos opostos). Os quatro ângulos de 30^\circ somam 120^\circ, o que fecha 360^\circ. Logo, os setores entre os triângulos (os de 30^\circ) são os brancos. Os setores cinza são os que ficam dentro dos triângulos, ou seja, os próprios ângulos de 60^\circ de cada triângulo.

Pela figura, porém, os setores cinza são os opostos pelo vértice, formados pelos prolongamentos dos lados dos triângulos: são 4 setores de 60^\circ, no total de 240^\circ. Porém isso daria \dfrac{240}{360}\cdot 3\pi = 2\pi.

4. Área cinza: \dfrac{240^\circ}{360^\circ}\cdot 3\pi = 2\pi\ \text{cm}^2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BUsa raio igual a \sqrt{6} ou erra a fração do círculo, obtendo 4\pi sem justificativa na geometria.
• CUsa a altura inteira como raio ou erra o raio, inflando a área.
• DUsa o lado a=4 como raio, ignorando que o raio é metade da altura.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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