Questão 40 (CFS 2) da EEAR 2025

Se a reta é tangente à circunferência, o raio é a distância do centro O(0,0) até a reta. Vamos achar a equação da reta e calcular essa distância.

1. A reta passa por (0,3) e (3,0). Seu coeficiente angular é m=\frac{0-3}{3-0}=-1 e o intercepto em y é 3, logo y=-x+3, ou seja, x+y-3=0.

2. A distância de um ponto (x_0,y_0) a uma reta ax+by+c=0 é

   d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.

3. Com O(0,0) e a=b=1, c=-3:
   

   r=\frac{|0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.

4. O comprimento da circunferência é C=2\pi r:
   

   C=2\pi\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}=3\pi\sqrt{2}.

Conferindo pela geometria: o triângulo com vértices O, (0,3) e (3,0) é retângulo isósceles de catetos 3 e hipotenusa 3\sqrt{2}. O raio é a altura relativa à hipotenusa, que vale \frac{3\cdot3}{3\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}, o mesmo resultado.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão corresponde a nenhum cálculo correto: o raio seria \sqrt{3}, valor que não aparece na distância de O à reta.
• CCorresponde a raio 2, valor que não resulta da distância do centro à reta.
• DCorresponde a raio 3, que é a distância de O aos pontos de interseção da reta com os eixos, não à reta.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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