Questão 41 (CFS 2) da EEAR 2025

Vamos calcular as primeiras potências de A e procurar o padrão.

1. A^2 = A\cdot A = \begin{pmatrix} 1\cdot1+1\cdot0 & 1\cdot1+1\cdot1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

2. A^3 = A^2\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1+2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

O padrão é que cada multiplicação por A soma 1 ao elemento a_{12}, pois \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & k+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Logo, A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} e, para n=5:

Assim, a_{11}=1 e a_{12}=5.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Amantém os elementos de A sem calcular a potência e ainda erra a_{11}, que vale 1.
• Btroca a_{11} por 0, mas o elemento da diagonal permanece 1.
• Cacerta a_{11}=1, mas a_{12} não se anula: cresce 1 a cada multiplicação.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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