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Questão 68 (CFS 2) da EEAR 2024

CFS 2 · Matemática: Prismas e paralelepípedos

– Uma porção de chocolate que estava na forma de um prisma triangular regular, de h_3\text{ cm} de altura e de aresta da base medindo 2x\text{ cm}, foi derretida e remodelada para a forma de um prisma hexagonal regular, de h_6\text{ cm} de altura e de aresta da base medindo x\text{ cm}. O valor de h_3/h_6 é _______.

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. C
    1,5
  4. D
    2,5
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Resolução comentada

Como o chocolate foi apenas derretido e remodelado, o volume não muda. O volume de um prisma é V = A_{base}\cdot h, então precisamos das áreas das duas bases.

  1. Base do prisma triangular: triângulo equilátero de lado 2x. Sua área é A_3=\dfrac{l^2\sqrt3}{4}=\dfrac{(2x)^2\sqrt3}{4}=x^2\sqrt3.

  2. Base do prisma hexagonal: hexágono regular de lado x, formado por 6 triângulos equiláteros de lado x. Sua área é A_6=6\cdot\dfrac{x^2\sqrt3}{4}=\dfrac{3x^2\sqrt3}{2}.

  3. Igualando os volumes: A_3\cdot h_3=A_6\cdot h_6, ou seja,

x^2\sqrt3\cdot h_3=\frac{3x^2\sqrt3}{2}\cdot h_6
  1. Cancelando x^2\sqrt3 dos dois lados:
h_3=\frac{3}{2}\,h_6 \quad\Rightarrow\quad \frac{h_3}{h_6}=\frac{3}{2}=1{,}5

Faz sentido: a base triangular tem área menor que a hexagonal, então o prisma triangular precisa ser mais alto para ter o mesmo volume.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa A engana quem compara só as arestas (2x e x) e esquece que a área da base depende do quadrado do lado e do número de lados.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa a razão entre as arestas das bases (2x/x) em vez da razão entre as áreas.
  • BErra a área do hexágono ou da razão de áreas, chegando a 3 em vez de 3/2.
  • DNão corresponde a nenhuma razão de áreas correta; resultado sem fundamento no cálculo.

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: EEAR 2024 · CFS 2. Prova oficial ↗