PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 69 (CFS 2) da EEAR 2024

CFS 2 · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

– Seja x um número real positivo tal que \log_2 x + \log_4 x - \log_8 x = 1. Logo, x = \_\_\_\_\_.

  1. A
    2^{6/7}
  2. B
    2^{7/6}
  3. C
    2^6
  4. D
    2^7
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Resolução comentada

Para somar logaritmos de bases diferentes, o caminho é colocar tudo na mesma base. Aqui a base 2 serve, porque 4=2^2 e 8=2^3.

A propriedade usada é a mudança de base: \log_{2^k} x = \dfrac{\log_2 x}{k}.

  1. \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2}
  2. \log_8 x = \dfrac{\log_2 x}{3}

Chamando y=\log_2 x, a equação fica:

y+\frac{y}{2}-\frac{y}{3}=1

O denominador comum é 6:

\frac{6y+3y-2y}{6}=1 \Rightarrow \frac{7y}{6}=1 \Rightarrow y=\frac{6}{7}

Como y=\log_2 x, então x=2^{6/7}.

Conferindo: \frac67+\frac37-\frac27=\frac77=1. Está correto, e x>0 como exigido.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem inverte a fração ao isolar y em 7y/6=1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Binverte a fração, usando y=7/6 em vez de 6/7.
  • Cconfunde y=\log_2 x com o valor de x ou usa o denominador 6 como expoente.
  • Dusa o numerador 7 como expoente, sem resolver 7y/6=1 corretamente.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: EEAR 2024 · CFS 2. Prova oficial ↗