PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 62 (CFS 1) da EEAR 2023

CFS 1 · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

– Sejam as funções f\text{: } \text{IR}^*_+ \to \text{IR} e g\text{: } \text{IR} \to \text{IR}^*_+, definidas por f(x) = \text{log}_k\text{ } x e g(x) = a^x, com a e k reais positivos e diferentes de 1. Se a função composta \text{fog}(10) é igual a 10, então

  1. A
    k = 10a
  2. B
    k = 1/a
  3. C
    k = 2a
  4. D
    k = a
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Resolução comentada

A composta f\circ g significa f(g(x)), isto é, aplicamos g primeiro e depois f.

  1. Substituímos g em f:

    (f\circ g)(x) = f(a^x) = \log_k a^x.

  2. Pela propriedade do logaritmo da potência, o expoente sai multiplicando:

    \log_k a^x = x\cdot \log_k a.

  3. Calculamos em x=10 e igualamos a 10:

    10\cdot \log_k a = 10 \Rightarrow \log_k a = 1.

  4. Pela definição de logaritmo, \log_k a = 1 significa k^1 = a, ou seja, k=a.

Conferindo: se k=a, então \log_a a^{10} = 10, como o enunciado pede.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConfunde o valor 10 de x com um fator multiplicando a; da condição \log_k a=1 não surge 10a.
  • BResultaria em \log_k a=-1 (base e logaritmando inversos), e não em 1.
  • CDaria \log_{2a} a \neq 1 em geral, pois k precisa ser exatamente a.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Conceito de função, composta e inversa.

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Fonte: EEAR 2023 · CFS 1. Prova oficial ↗