PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 57 (CFS 1) da EEAR 2021

CFS 1 · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

– O número complexo z = 2 + 3\text{i} é uma raiz do polinômio p(x) = x^3 - 5x^2 + 17x - 13. Sendo assim, é correto afirmar que p(x) possui

  1. A
    outras 2 raízes não reais.
  2. B
    apenas 1 raiz não real.
  3. C
    2 raízes reais.
  4. D
    1 raiz real.
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Resolução comentada

Os coeficientes de p(x) são todos reais. Nesse caso, se um complexo não real é raiz, o seu conjugado também é raiz. Como z = 2+3\text{i} é raiz, \bar z = 2-3\text{i} também é.

Um polinômio de grau 3 tem 3 raízes. Já temos duas, então falta uma, que chamaremos de r.

Pelas relações de Girard, a soma das raízes de x^3 - 5x^2 + 17x - 13 é -\dfrac{-5}{1} = 5:

  1. (2+3\text{i}) + (2-3\text{i}) + r = 5
  2. 4 + r = 5
  3. r = 1

Conferindo: p(1) = 1 - 5 + 17 - 13 = 0. Logo, 1 é de fato raiz.

As raízes são 2+3\text{i}, 2-3\text{i} e 1. Portanto, p(x) possui duas raízes não reais (conjugadas entre si) e exatamente 1 raiz real.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AAlém de z, só existe mais uma raiz não real (o conjugado 2-3\text{i}), e não duas.
  • BSão 2 raízes não reais, 2+3\text{i} e 2-3\text{i}; a afirmação 'apenas 1' só vale se ignorarmos o próprio z.
  • CA única raiz real é 1; as outras duas são complexas conjugadas.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Números complexos.

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Fonte: EEAR 2021 · CFS 1. Prova oficial ↗