Correção ITA 2027 · 2ª fase completaAs 45 questões dos quatro dias, com as resoluções e a proposta de redaçãoVer a prova

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 64 (CFS 1) da EEAR 2018

CFS 1 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

– Os pontos A, B, C e D estão alinhados entre si, assim como os pontos A, E e F também estão. Considerando G o ponto de interseção de \overline{\text{FC}} e \overline{\text{ED}}, o valor de \text{tg}\ \alpha é

Figura geométrica com pontos A, B, C e D alinhados horizontalmente na base, onde AB = 2, BC = x e CD = 3. Segmentos verticais perpendiculares à base sobem a partir de B (segmento EB de comprimento 4) e de C (segmento FC, passando pelo ponto G, com GC = 2 e GF = y). Os pontos A, E e F estão alinhados. O segmento ED intersecta FC no ponto G. O ângulo no vértice F formado pelos segmentos AF e FC é indicado por α.

  1. A
    0,2
  2. B
    0,5
  3. C
    2
  4. D
    4
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Resolução comentada

Coloque A na origem, com a base sobre o eixo horizontal. Então B = (2, 0), E = (2, 4), C = (2+x, 0), D = (5+x, 0) e G = (2+x, 2).

O ângulo α está em F, entre a reta AF e a vertical FC. Logo, \text{tg}\ \alpha é o cateto oposto (horizontal) sobre o adjacente (vertical), o que equivale a \frac{AC}{FC}.

  1. Semelhança dos triângulos EBD e GCD (ambos retos, com ângulo comum em D):

    \frac{EB}{GC}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow \frac{4}{2}=\frac{x+3}{3}\Rightarrow x+3=6\Rightarrow x=3.

  2. Semelhança dos triângulos ABE e ACF (ângulo comum em A, ambos retos em B e C):

    \frac{EB}{AB}=\frac{FC}{AC}\Rightarrow \frac{4}{2}=\frac{y+2}{2+x}=\frac{y+2}{5}\Rightarrow y+2=10\Rightarrow y=8.

  3. No triângulo ACF, reto em C, o cateto oposto a α é AC = 2 + x = 5 e o adjacente é FC = y + 2 = 10:

    \text{tg}\ \alpha=\frac{AC}{FC}=\frac{5}{10}=0{,}5.

Conferência: o ângulo em A tem tangente 4/2=2, e α é o complemento dele, então \text{tg}\ \alpha=1/2. Confere.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana: 2 é a tangente do ângulo em A (EB/AB); como α é o complemento desse ângulo, sua tangente é o inverso, 0,5.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com os lados; vem de erro de proporção, não de AC/FC.
  • CÉ a tangente do ângulo em A (4/2), não a de α, que é seu complemento.
  • DValor que não resulta de nenhuma razão correta entre os lados; vem de inverter ou errar as proporções.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Fonte: EEAR 2018 · CFS 1. Prova oficial ↗