Questão 53 da EEAR 2013

A diagonal de um cubo é o segmento que liga dois vértices opostos, passando pelo interior do sólido. Para calculá-la, usa-se Pitágoras duas vezes.

1. Diagonal da face (um quadrado de lado a): d_f = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}.
2. Diagonal do cubo: ela é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a diagonal da face e uma aresta, ou seja, D = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}.

Com a = 10\ \text{cm} e \sqrt{3} = 1{,}73:

Como 16 < 17{,}3 < 18, a diagonal está entre 16 e 18 cm.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem usa a diagonal da face, 10\sqrt{2} \approx 14{,}1, em vez da diagonal do cubo.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ADaria um valor entre 18 e 20, o que exigiria \sqrt{3} maior que 1,8; talvez confunda com a soma de arestas ou erre a conta.
• CValor entre 14 e 16 corresponde a aproximadamente 10\sqrt{2} \approx 14{,}1, a diagonal da face, e não a do cubo.
• DEntre 12 e 14 não corresponde a nenhuma diagonal do cubo de aresta 10; seria um valor menor que a diagonal da face.

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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