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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 73 (CFS 2) da EEAR 2010

CFS 2 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Se o triângulo CDE é semelhante ao triângulo ABC, o valor de |a-b| é

Triângulo ABC, retângulo em B, com AB vertical, BC horizontal e AC inclinado. O ponto D está sobre AC e o ponto E sobre BC, ligados pelo segmento DE. O ângulo em A está indicado por 2x e o ângulo em C por x. No triângulo CDE, o ângulo em D está indicado por a e o ângulo em E por b. Há uma marca de ângulo reto em B.

  1. A
    30^\circ.
  2. B
    45^\circ.
  3. C
    60^\circ.
  4. D
    90^\circ.
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Resolução comentada

No triângulo ABC, o ângulo em B é reto, e os ângulos em A e C são 2x e x. A soma dos ângulos internos é 180^\circ:

  1. 90^\circ + 2x + x = 180^\circ
  2. 3x = 90^\circ, logo x = 30^\circ.

Assim, A = 60^\circ, B = 90^\circ e C = 30^\circ.

O triângulo CDE tem o ângulo x = 30^\circ em C, e a e b são seus ângulos em D e E. Se CDE é semelhante a ABC, seus ângulos são 30^\circ, 60^\circ e 90^\circ. Como o ângulo em C já vale 30^\circ, os ângulos a e b são 60^\circ e 90^\circ, em alguma ordem.

A figura mostra o caso a = 90^\circ e b = 60^\circ, em que DE é perpendicular a AC. Na outra ordem, o resultado seria o mesmo, pois pedem o módulo.

Cheque pela soma: 30^\circ + a + b = 180^\circ, logo a + b = 150^\circ, que é compatível com 60^\circ + 90^\circ.

Portanto:

|a-b| = |90^\circ - 60^\circ| = 30^\circ

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde a nenhuma diferença entre os ângulos 60^\circ e 90^\circ do triângulo semelhante.
  • CConfunde a diferença com um dos ângulos (60^\circ) em vez de subtrair 90^\circ - 60^\circ.
  • DToma apenas o ângulo reto em vez da diferença entre a e b.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Ver como caiu na prova Questão 73 no caderno CFS 2 da EEAR 2010

Fonte: EEAR 2010 · CFS 2. Prova oficial ↗