DESEMPENHO NESTA PROVA
GPT-6.1 Terra
Na prova ITA 2027 · 2ª fase · Matemática.
| Questão | Com a maioria | Resposta final | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 (Matemática) | ✓ | \displaystyle a_k=\frac{87+(2k-11)r}{2}, para k=1,\ldots,10 e r\in\{-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9\}. |
Sejam \(a_1\) o primeiro termo e \(r\) a razão da progressão. Como os termos são naturais, \(r\) é inteiro. Pela fórmula da soma, \[ 435=\frac{10}{2}(2a_1+9r), \qquad\text{logo}\qquad 2a_1+9r=87. \] Assim, \(r\) deve ser ímpar e \[ a_1… |
| 2 (Matemática) | ✓ | \displaystyle x\in\left(\log_2\frac{\sqrt5-1}{2},\,1\right). |
Como \(2^x+2>2\), temos \(\log_2(2^x+2)>0\). Assim, a desigualdade equivale a \[ \log_2(2^x+2)>2|x|. \] **Caso \(x\geq 0\).** Fazendo \(t=2^x\geq1\), obtemos \[ 2^x+2>2^{2x} \iff t+2>t^2 \iff (t-2)(t+1)<0. \] Como \(t\geq1\), segue que \… |
| 3 (Matemática) | ✓ | lado =\sqrt{1-\frac{\sqrt2}{2}}; r=\frac1{16}. |
Da equação \(r+iz^8=0\), obtemos \(z^8=ir\). Suas oito raízes têm módulo \(R=r^{1/8}\) e argumentos que diferem, consecutivamente, de \(\pi/4\). Portanto, são os vértices de um octógono regular inscrito em uma circunferência de raio \(R\)… |
| 4 (Matemática) | ✓ | 2,\,-1 (raiz dupla), i,\,-i,\,3+2\sqrt2,\,3-2\sqrt2. |
Como \[ q(x)=x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2, \] a divisibilidade de \(p\) por \(q\) implica \(p(-1)=0\). Calculando, \[ p(-1)=-16-8a=0, \] logo \(a=-2\). Para esse valor, a fatoração de \(p\) é \[ \begin{aligned} p(x) &=(x-2)(x+1)^2(x^4-6x^3+2x^2… |
| 5 (Matemática) | ✓ | -9+5\sqrt3. |
Como \(A\) e \(B\) têm abscissa \(1\), a equação da elipse dá \(y^2=4\). Assim, podemos tomar \[ A=(1,2),\qquad B=(1,-2), \] de modo que \(AB=4\). Pelo perímetro, \(AC+BC=6\). Portanto, \(C=(x,y)\) pertence também à elipse de focos \(A\)… |
| 6 (Matemática) | ✓ | 235. |
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos \[ x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=22. \] Subtraindo o dobro da primeira equação da terceira, obtemos \[ x_3+x_4+x_5+x_6=16. \] Logo, \(x_2=6\). Substituindo na primeira equação, segue que \[ x_1+2x_6… |
| 7 (Matemática) | ✓ | \{-6,-4,6,8\}. |
Fazendo a divisão polinomial, obtemos \[ \frac{2n^3-5n^2-52n+90}{n^2-2n-27} =2n-1+\frac{63}{n^2-2n-27}. \] Como \(n\) é inteiro, o quociente será inteiro se, e somente se, \[ d=n^2-2n-27=(n-1)^2-28 \] for um divisor inteiro de \(63\). O… |
| 8 (Matemática) | ✓ | a) x\in(0,1]\cup[9,10); b) \sqrt{10} e 3\sqrt{10}. |
Adotemos \(A=(0,0)\), \(B=(10,0)\), \(C=(10,6)\) e \(D=(0,6)\). Como o retângulo \(EFGH\) está inscrito, podemos escrever \[ E=(x,0),\qquad F=(10,y), \] com \(0<x<10\) e \(0<y<6\). Pela igualdade dos pontos médios das diagonais de \(EFGH\… |
| 9 (Matemática) | ✓ | 10+5\sqrt3. |
Sejam \(A,B,C,D,E,F\) os vértices consecutivos da base, \(S\) o vértice da pirâmide e \(O\) o centro do hexágono. Podemos tomar \(AD\) como diagonal maior e a seção paralela à face \(SBC\). Sejam \(M\) e \(N\) os pontos médios de \(BC\) … |
| 10 (Matemática) | ✓ | k=3. |
Usando \(1+\cos(2x)=2\cos^2x\) e \(1-\cos(2x)=2\sen^2x\), temos \[ f(x)=\sqrt2\bigl(|\cos x|+|\sen x|\bigr)-\sen x-\cos x. \] No **primeiro quadrante**, \(\sen x,\cos x>0\), logo \[ f(x)=(\sqrt2-1)(\sen x+\cos x). \] Nesse quadrante, \(1… |