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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 da UNICAMP 2027

1ª fase · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Seja f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função com a propriedade de que x^3 < f(x) < x^2 para todo 0 < x < 1.

Considere o triângulo de vértices P = (0,0), Q = (1/2, f(1/2)) e R = (1/2, 1/2).

A respeito da área A desse triângulo, é correto afirmar que

  1. A
    0 < A < 3/128.
  2. B
    3/128 < A < 1/32.
  3. C
    1/32 < A < 1/16.
  4. D
    1/16 < A < 3/32.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O triângulo tem dois vértices na reta vertical x=1/2: Q=(1/2, f(1/2)) e R=(1/2, 1/2). Esse segmento QR será a base. A altura é a distância horizontal de P=(0,0) até a reta x=1/2, ou seja, h=1/2.

A base mede QR = \left|\frac12 - f(1/2)\right|.

Como 0<1/2<1, a propriedade dá:

\left(\tfrac12\right)^3 < f(1/2) < \left(\tfrac12\right)^2 \Rightarrow \tfrac18 < f(1/2) < \tfrac14.

Portanto f(1/2) < 1/2, e a base é QR = \frac12 - f(1/2). Subtraindo de 1/2 os limites acima:

\tfrac12-\tfrac14 < QR < \tfrac12-\tfrac18 \Rightarrow \tfrac14 < QR < \tfrac38.

A área é

A=\frac{QR\cdot h}{2}=\frac{QR}{4}.

Dividindo os limites por 4:

\tfrac1{16} < A < \tfrac3{32}.

Esse intervalo corresponde exatamente à alternativa D.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa uma base muito pequena; os limites 3/128 e menores não saem de nenhuma combinação correta de 1/4 e 3/8.
  • BIntervalo errado, resultado de erro ao calcular a base ou ao esquecer o fator 1/2 da altura.
  • CEstá abaixo do intervalo correto; ocorre ao dividir por 8 em vez de 4 (esquecendo que a altura é 1/2 e a área divide por 2).

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Potenciação e radiciação.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2027. Prova oficial ↗