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Questão 26 da UNICAMP 2027

1ª fase · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

A figura a seguir, que também apareceu no Vestibular Unicamp 1987, exibe uma circunferência de centro O e raio r. Considere que o segmento BC mede r e o ângulo ABO mede 15 graus. Os pontos P, A, C estão na circunferência, e os pontos P, O, B e A, C, B são colineares.

Circunferência de centro O contendo os pontos A, C e P. A reta que passa por P e O estende-se externamente até o ponto B, e a reta que passa por B é secante à circunferência nos pontos C e A. O centro O está conectado ao ponto A por um segmento.

Se r=1 , determine o comprimento do segmento AP.

  1. A
    \sqrt{(2-\sqrt{2})}.
  2. B
    \sqrt{(2+\sqrt{2})}.
  3. C
    \sqrt{(4-\sqrt{2})}.
  4. D
    \sqrt{(4+\sqrt{2})}.
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Resolução comentada

Este é o clássico problema do ângulo triplo: BC = r = OC e ângulo ABO = 15°.

  1. O triângulo OCB é isósceles (CB = OC = r), então \hat{COB} = \hat{CBO} = 15^\circ.
  2. O ângulo externo do triângulo OCB em C vale \hat{OCA} = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ.
  3. O triângulo OAC é isósceles (OA = OC = r), então \hat{OAC} = 30^\circ.
  4. Ângulo externo do triângulo OAB em O: \hat{AOP} = \hat{OAB} + \hat{ABO} = 30^\circ + 15^\circ = 45^\circ.

Assim, no triângulo AOP, temos OA = OP = r = 1 e ângulo central 45^\circ entre eles. Pela lei dos cossenos:

AP^2 = 1 + 1 - 2\cdot 1\cdot 1\cdot\cos 45^\circ = 2 - 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 2-\sqrt{2}

Portanto AP = \sqrt{2-\sqrt{2}}.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem usa o ângulo suplementar (135°) em vez de 45° no ângulo AOP, trocando o sinal do cosseno.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Busa o ângulo de 135° (cosseno negativo), obtendo 2+√2, mas o ângulo AOP vale 45°.
  • Cnão segue da lei dos cossenos com lados 1 e 1; confunde a soma dos quadrados com 4 e subtrai √2.
  • Didem, soma 4 e √2 sem relação com o triângulo isósceles de lados 1 e ângulo 45°.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Lei dos senos e lei dos cossenos.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2027. Prova oficial ↗