Questão 18 da UNICAMP 2027

Se as três raízes r_1, r_2, r_3 são inteiras, as relações de Girard para x^3 + bx^2 + cx + 8 dão:

1. r_1 + r_2 + r_3 = -b
2. r_1 r_2 r_3 = -8

Como b = -(r_1+r_2+r_3), para maximizar b precisamos da menor soma possível das raízes, com produto -8.

O produto negativo exige um número ímpar de raízes negativas (uma ou três). Testamos as fatorações de 8 em três inteiros:

• (-1, 1, 8): produto -8, soma 8, b=-8.
• (-8, 1, 1): produto -8, soma -6, b=6.
• (-1, -1, -8): produto -8, soma -10, b=10.
• (-2, 1, 4): soma 3, b=-3.
• (-4, 1, 2): soma -1, b=1.
• (-2, -2, -2): produto -8, soma -6, b=6.
• (-1,-2,-4): produto -8, soma -7, b=7.
• (-8,-1,-1) é o caso acima, com produto -8 e soma -10.
• (-1, -8, 1) tem produto +8, não serve.

A menor soma é -10, com raízes -1, -1, -8. Conferindo: p(x) = (x+1)^2(x+8) = x^3 + 10x^2 + 17x + 8, com c real, e b=10.

Somas menores, como -13, exigiriam raízes de módulo maior que o permitido pelos divisores de 8.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACorresponde às raízes -8, 1, 1 ou -2,-2,-2, que não dão a menor soma.
• BCorresponde às raízes -1,-2,-4, soma -7, mas há soma ainda menor.
• DExigiria soma das raízes igual a -13, impossível com produto -8 e raízes inteiras.

Assunto: Equações polinomiais e relações de Girard.

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