Questão 17 da UNICAMP 2027

O determinante de uma matriz 3\times3 cuja diagonal tem -x em cada entrada é um polinômio de grau 3, com coeficiente de x^3 igual a -1. Então, para x muito grande, y\to-\infty, e para x muito negativo, y\to+\infty. Isso elimina as curvas de grau 4 (C e D) e a cúbica crescente (A). Resta conferir o valor em x=0 para validar a B.

Cálculo de \det A(0):

1. A(0)=\begin{pmatrix}2&1&-3\\-7&-3&9\\0&3&1\end{pmatrix}
2. Expandindo pela primeira coluna: 2\cdot(-3\cdot1-9\cdot3) - (-7)\cdot(1\cdot1-(-3)\cdot3)
3. 2\cdot(-30)+7\cdot(10)=-60+70=10

Portanto y(0)=10>0: a curva corta o eixo y acima da origem, como na B.

Conferência: o determinante é -\chi(x) com \chi o polinômio característico. O traço é 0, então a soma das raízes é 0. O produto das raízes é \det A(0)=10. Com raízes reais de soma nula, duas de um sinal e uma de outro, a curva tem três cruzamentos com o eixo x, compatível com a B (dois no lado positivo ou negativo e um no outro, como mostra o desenho).

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACúbica crescente, mas o coeficiente de x^3 é -1 e y(0)=10>0; a figura tem y(0)<0.
• CGrau 4, mas o determinante de matriz 3\times3 com -x na diagonal tem grau 3.
• DGrau 4, incompatível com o grau 3 do determinante.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Polinômios.