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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 23 da UNICAMP 2018

1ª fase · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Considere que o quadrado ABCD, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1\ \text{cm}, e que C é o ponto médio do segmento AE. Consequentemente, a distância entre os pontos D e E será igual a

Quadrado ABCD, com A no vértice inferior esquerdo, B no inferior direito, C no superior direito e D no superior esquerdo. O segmento AE parte de A, passa por C e se prolonga até E, acima e à direita do quadrado, sendo C seu ponto médio.

  1. A
    \sqrt{3}\ \text{cm}.
  2. B
    2\ \text{cm}.
  3. C
    \sqrt{5}\ \text{cm}.
  4. D
    \sqrt{6}\ \text{cm}.
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Resolução comentada

Coloque o quadrado num sistema de coordenadas: A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1) e D=(0,1).

Como C é o ponto médio de AE, as coordenadas de C são a média das coordenadas de A e E. Chamando E=(x,y):

  1. \dfrac{0+x}{2}=1 \Rightarrow x=2
  2. \dfrac{0+y}{2}=1 \Rightarrow y=2

Logo E=(2,2). Isso combina com a figura: E fica acima e à direita do quadrado, sobre a reta da diagonal AC.

Agora a distância entre D=(0,1) e E=(2,2):

DE=\sqrt{(2-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\ \text{cm}

Outra forma de ver: CE=AC=\sqrt{2}, e o ângulo \hat{DCE}=90^\circ+45^\circ=135^\circ. Pela lei dos cossenos, DE^2=1+2-2\cdot 1\cdot\sqrt{2}\cdot\cos135^\circ=3+2=5. O resultado é o mesmo.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResulta de um erro na lei dos cossenos, como usar ângulo de 90^\circ e obter 1+2=3, ignorando que o ângulo DCE mede 135^\circ.
  • BConfunde DE com AE ou com o lado de um quadrado maior; AE=2\sqrt{2}, e DE^2=5, não 4.
  • DErra a conta na lei dos cossenos ou no teorema de Pitágoras, obtendo DE^2=6 em vez de 5.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2018. Prova oficial ↗