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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 21 da UNICAMP 2018

1ª fase · Matemática: Função quadrática

A figura a seguir exibe o gráfico de uma função y = f(x) para 0 \leq x \leq 3.

Gráfico em eixos x e y, com malha tracejada. A função é formada por segmentos de reta que ligam os pontos (0, 0), (1, 1) e (3, −1), passando por (2, 0). O eixo x tem marcações 0, 1, 2 e 3, e o eixo y tem marcações −1, 0 e 1.

O gráfico de y = [f(x)]^2 é dado por

  1. A
    Gráfico em eixos x e y, com malha tracejada e marcações 0, 1, 2 e 3 no eixo x e 1 no eixo y. Uma curva côncava para baixo vai de (0, 0) até (2, 0), com máximo em (1, 1). A partir de (2, 0), uma curva côncava para cima cresce até (3, 1).
  2. B
    Gráfico em eixos x e y, com malha tracejada e marcações 0, 1, 2 e 3 no eixo x e 1 no eixo y. Uma curva côncava para baixo vai de (0, 0) até (2, 0), com máximo em (1, 1). A partir de (2, 0), outra curva côncava para baixo cresce até (3, 1), formando uma ponta no encontro em (2, 0).
  3. C
    Gráfico em eixos x e y, com malha tracejada e marcações 0, 1, 2 e 3 no eixo x e 1 no eixo y. Uma curva côncava para cima cresce de (0, 0) até (1, 1). Nesse ponto, forma uma ponta com outra curva côncava para cima que decresce até o mínimo em (2, 0) e cresce até (3, 1).
  4. D
    Gráfico em eixos x e y, com malha tracejada e marcações 0, 1, 2 e 3 no eixo x e 1 no eixo y. Uma curva côncava para cima cresce de (0, 0) até (1, 1), formando uma ponta com uma curva côncava para cima que decresce até (2, 0). A partir de (2, 0), uma curva côncava para baixo cresce até (3, 1).
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Resolução comentada

Elevar f ao quadrado muda o gráfico de duas formas: todos os valores ficam não negativos e cada trecho de reta vira um pedaço de parábola. Vamos ver cada trecho.

  1. Para 0 \leq x \leq 1: f(x) = x, logo [f(x)]^2 = x^2. É uma parábola côncava para cima, de (0,0) até (1,1).

  2. Para 1 \leq x \leq 2: f(x) = 2 - x, logo [f(x)]^2 = (2-x)^2. É uma parábola côncava para cima, que decresce de (1,1) até (2,0). Em x=1 as inclinações são 2 (à esquerda) e -2 (à direita), então há uma ponta.

  3. Para 2 \leq x \leq 3: f(x) = 2 - x, que é negativa, mas o quadrado é o mesmo (2-x)^2. Continua côncava para cima, agora crescendo de (2,0) até (3,1), pois f(3) = -1 e (-1)^2 = 1.

Assim, de x=1 a x=3 temos uma única parábola (x-2)^2, com vértice (mínimo) em (2,0), sem ponta nesse ponto. O gráfico tem ponta só em x=1.

Isso corresponde à figura com curva côncava para cima de (0,0) a (1,1), ponta em (1,1) e curva com mínimo em (2,0) que cresce até (3,1).

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem acerta o trecho de 0 a 2 mas esquece que o quadrado de f negativa continua sendo a parábola (2-x)^2, e não muda de concavidade.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADesenha parábolas côncavas para baixo no primeiro trecho, mas x^2 e (2-x)^2 são côncavas para cima.
  • BUsa curvas côncavas para baixo e ponta em x=2, esquecendo que (x-2)^2 tem vértice suave em x=2.
  • DTrata o trecho de 2 a 3 como côncavo para baixo, mas (2-x)^2 é côncava para cima e continua a mesma parábola.

Assuntos: Função quadrática, Conceito de função, composta e inversa.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2018. Prova oficial ↗