PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 da UNICAMP 2017

1ª fase · Matemática: Progressão aritmética

Seja x um número real, 0 < x < \frac{\pi}{2}, tal que a sequência (\tan x, \sec x, 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a

  1. A
    1.
  2. B
    5/4.
  3. C
    4/3.
  4. D
    1/3.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Numa PA de três termos, o termo do meio é a média dos extremos, então 2\sec x = \tg x + 2.

Seja t=\tg x e s=\sec x. A relação trigonométrica é s^2 = 1 + t^2.

  1. Da PA: t = 2s - 2.
  2. Substituindo em s^2 = 1 + t^2: s^2 = 1 + (2s-2)^2 = 4s^2 - 8s + 5.
  3. Arrumando: 3s^2 - 8s + 5 = 0.
  4. Discriminante: \Delta = 64 - 60 = 4, logo s = \dfrac{8 \pm 2}{6}, ou seja, s = \dfrac{5}{3} ou s = 1.

Se s=1, então t=0, o que daria x=0, fora do intervalo 0<x<\pi/2. Portanto s = \dfrac{5}{3}.

Então t = 2\cdot\dfrac{5}{3} - 2 = \dfrac{4}{3}.

A razão é r = \sec x - \tg x = \dfrac{5}{3} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3}.

Conferindo: a PA é \left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{5}{3}, 2\right), com razão \dfrac{1}{3} nos dois passos. Isso corresponde ao triângulo 3-4-5 (cos x = 3/5).

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C (4/3) engana por ser o valor de \tg x, que aparece no meio da conta, mas a pergunta é a razão da PA.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACorresponde à raiz s=1 (com \tg x=0), que dá x=0, fora do intervalo.
  • BConfunde a razão com \sec x = 5/4 ou outro valor, sem satisfazer a PA.
  • CÉ o valor de \tg x, não da razão.

Assuntos: Progressão aritmética, Trigonometria no triângulo retângulo.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 25 no caderno Q da UNICAMP 2017

Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2017. Prova oficial ↗