PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 26 da UNICAMP 2017

1ª fase · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo, em que AB = 2\text{ cm}, BC = 1\text{ cm} e CD = 5\text{ cm}. Então, o ângulo \theta é igual a

Triângulo retângulo ABD com ângulo reto no vértice B. O cateto vertical é AB e o horizontal é BD. O ponto C está sobre o segmento BD, e uma linha liga o vértice A ao ponto C, delimitando o ângulo CAD representado por θ.

  1. A
    15^\circ.
  2. B
    30^\circ.
  3. C
    45^\circ.
  4. D
    60^\circ.
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Resolução comentada

A ideia é que \theta é a diferença entre dois ângulos que partem de A e se medem a partir de AB: \theta = \angle BAD - \angle BAC.

No triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é cateto oposto sobre cateto adjacente. Aqui, BD = BC + CD = 1 + 5 = 6\text{ cm}.

  1. Ângulo \angle BAC: \tg(\angle BAC) = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{1}{2}.
  2. Ângulo \angle BAD: \tg(\angle BAD) = \dfrac{BD}{AB} = \dfrac{6}{2} = 3.
  3. Como \theta = \angle BAD - \angle BAC, usamos a fórmula da tangente da diferença:
\tg\theta = \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + 3\cdot\frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1
  1. Se \tg\theta = 1 e \theta é agudo, então \theta = 45^\circ.

Conferindo: \angle BAC \approx 26{,}6^\circ e \angle BAD \approx 71{,}6^\circ, cuja diferença é 45^\circ.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhum valor obtido; \tg 15^\circ \approx 0{,}27, e não 1.
  • B\tg 30^\circ = \frac{\sqrt3}{3} \approx 0{,}58, que não é o valor de \tg\theta encontrado.
  • D\tg 60^\circ = \sqrt3 \approx 1{,}73, diferente de 1; seria resultado de erro na fórmula da diferença.

Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2017. Prova oficial ↗